급수
무한급수 · 등비급수
수열의 항을 끝없이 더한 것. 부분합이 다가가는 값으로 그 합을 정한다.
고3 에서 배웁니다.
이다. 정사각형을 반, 또 남은 것의 반 … 으로 칠해 가면 전체 하나에 다가간다.
왜 그런가
끝없이 더하기는 실제로 할 수 없다. 그래서 앞에서부터 개까지만 더한 부분합을 만들고, 을 키울 때 부분합이 어떤 값에 다가가면 그것을 급수의 합으로 정한다. 급수는 극한으로 정의된다.
등비급수는 공비 이 일 때 합이 로 정해진다. 위의 예는 이다. 공비가 이 범위를 벗어나면 부분합이 끝없이 커지거나 흔들려 합이 없다.
옛 그리스의 제논은 「아킬레우스는 앞서 출발한 거북을 따라잡지 못한다」는 역설을 냈다. 따라잡는 데 걸리는 시간이 끝없이 많은 조각의 합이지만, 그 조각들이 등비급수처럼 줄어들어 합이 유한하다는 것이 오늘날의 풀이다.
장면으로 보기 · 끝없이 더해도 하나
r = 1/2, a = 1 − r = 1/2 n = 12 Sₙ = 0.999755859375 남은 틈 rⁿ = 0.000244140625
공비가 r 일 때 첫째항을 a = 1 − r 로 두면 합 a/(1 − r) 가 꼭 1 이 됩니다. 그래서 조각을 아무리 더해도 넓이 1 인 정사각형 하나를 넘지 않고, 남은 틈 rⁿ 만 끝없이 작아집니다. 조각 둘마다 남은 칸이 처음 정사각형을 줄인 꼴이라 같은 무늬가 끝없이 되풀이됩니다.
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수열과 급수
이름의 유래
급수(級數)의 級 은 「층계, 등급」이다. 차례로 이어지는 항을 층층이 더해 간다는 뜻으로 읽을 수 있다. 영어 series 는 「줄, 잇달음」이다.
흔한 오해
항이 으로 다가간다고 합이 있는 것은 아니다. 는 항이 에 다가가는데도 합이 끝없이 커진다. 아주 느려서 을 넘기는 데만 개의 항이 든다.
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