무한대

왜 그런가

$\infty$ 는 수직선 위 어디에도 없다. 가장 큰 수도 아니다. 어떤 수를 대도 그보다 큰 수가 늘 있기 때문이다. 그래서 「$x\to \infty$」는 $x$ 가 $\infty$ 라는 수에 닿는다는 말이 아니다. 어떤 수를 정해 놓아도 결국 그보다 커지도록 $x$ 가 계속 간다는 말이다.

수가 아니니 셈의 규칙도 그대로 통하지 않는다. 아래 세 식은 모두 한없이 커지는 것에서 한없이 커지는 것을 빼는 모양인데, 결과가 제각각이다.

답을 정하는 것은 누가 더 빨리 커지느냐다. $n=100$ 이면 $n^2$ 은 $10000$ 인데 $n$ 은 $100$ 이라, 앞의 두 식에서는 $n^2$ 쪽이 이긴다. 셋째 식은 두 쪽이 똑같은 빠르기로 커져서 차이 $1$ 만 남는다. 그래서 이런 꼴을 만나면 식을 고쳐 써서 누가 이기는지를 드러내야 한다.

그래도 이 기호는 쓸모가 있다. 끝없이 커지며 발산하는 것을 $\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2=\infty$ 처럼 짧게 적고, 수직선에서 끝없이 뻗는 쪽을 가리킬 때도 쓴다.