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확률의 뜻과 활용

시행과 사건을 집합으로 정리하고, 수학적 확률의 정의와 덧셈정리·여사건으로 확률을 계산한다.

가르칠 때 짚을 것 교사용

시험에 나오는 것

확률의 계산은 중3에서 이어져 손에 있다. 고등의 배점은 배반과 독립을 가르는 자리다. 두 말을 섞으면 덧셈정리와 곱셈정리를 반대로 쓰게 된다. 계산 반복보다 두 개념을 한 문장씩으로 구분해 말하게 하는 훈련에 시간을 쓴다.

여기서 무너집니다

배반과 독립을 같은 말로 쓴다. 둘 다 "서로 상관없다"로 읽기 때문이다. 극단으로 물어본다. 배반이면 하나가 일어난 순간 다른 쪽은 절대 못 일어난다. 그것이야말로 영향을 크게 주는 것 아니냐고 되물으면, 배반이 오히려 독립의 반대에 가깝다는 것이 스스로 온다.

확인 질문

배반인 두 사건은 독립입니까? 두 말은 각각 무슨 뜻입니까?

"확률이 $0$ 이 아니면 독립일 수 없다"와 두 정의가 함께 나오면 통과. 같은 말이라 하면 조건부확률 전체가 어긋나므로 여기서 멈춘다.

개요

중2에서 배운 확률은 “일어날 수 있는 모든 경우 중 그 사건이 일어나는 경우의 비율”이었다. 여기서도 뜻은 똑같다. 달라지는 것은 다루는 언어다.

이제 사건을 집합으로 쓴다. 그러면 ” $A$ 또는 $B$ “는 $A \cup B$ , ” $A$ 그리고 $B$ “는 $A \cap B$ , ” $A$ 가 아님”은 $A^c$ 가 되고, 집합에서 익힌 식이 그대로 확률의 식이 된다. 확률의 덧셈정리 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ 가 원소 개수 공식과 판박이인 것도 그 때문이다. 경우의 수를 세는 힘(여러 가지 순열과 조합)이 그대로 확률을 구하는 힘이 된다.

핵심 사실

시행은 같은 조건에서 되풀이할 수 있고 결과가 우연에 따라 정해지는 실험이며, 그 결과 전체의 집합이 표본공간 $S$ , 그 부분집합이 사건이다.
수학적 확률: 표본공간의 모든 근원사건이 같은 정도로 일어날 때

P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}

통계적 확률은 시행을 아주 많이 반복했을 때의 상대도수다. 시행 횟수를 늘리면 수학적 확률에 가까워진다.
확률의 기본 성질: 모든 사건 $A$ 에 대해 $0 \le P(A) \le 1$ 이고, $P(S) = 1$ , $P(\varnothing) = 0$ 이다.
덧셈정리: 두 사건이 동시에 일어날 수 있으면 겹치는 만큼을 뺀다.

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

배반사건은 동시에 일어날 수 없는 사건( $A \cap B = \varnothing$ )이며, 이때는 $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ 로 그냥 더한다.
여사건: $A$ 가 일어나지 않을 확률은

P(A^c) = 1 - P(A)

“적어도 하나” 를 묻는 문제는 거의 항상 여사건이 빠르다. “적어도 하나 성공”의 반대는 “전부 실패” 하나뿐이기 때문이다.
확률을 구할 때는 분자와 분모를 같은 기준으로 센다. 순서를 따져 분자를 세었으면 분모도 순서를 따져야 한다. 둘 중 하나만 조합으로 세면 답이 어긋난다.

바로 위 문장을 직접 확인해 보자. 아래 막대가 실제로 굴려 나온 상대도수이고, 그 위에 얹힌 가로선이 수학적 확률이다. 시행 횟수를 늘릴수록 막대가 선에 붙는 것, 이것이 통계적 확률이 수학적 확률로 다가간다는 말의 뜻이다.

시행 횟수: 0
이론값과의 최대 차이: -
평균 (실측 · 이론): - · 7.00

가로선이 이론 확률입니다. 몇 번 굴려서는 막대가 선과 한참 어긋납니다.

완료로 두면 확률과 통계 목차에 표시됩니다.