코사인법칙
📖 이 페이지의 개념피타고라스 정리사인법칙과 코사인법칙
b² + c² = 25.00 a² = 13.00 넘친 물 12.00 빈 자리 0.00
세 넓이는 정사각형 꼭짓점의 좌표로 재고, 넘친 물은 아래 통에 모인 양이다. 비교: 2bc·cos A = 24 × cos 60° = 12.00
두 정사각형의 물을 셋째 정사각형에 부으면 끼인각이 직각일 때만 꼭 찬다. 각이 좁으면 넘치고 넓으면 모자라는데, 그 양이 늘 2bc·cos A 다. 그래서 a² = b² + c² − 2bc cos A 이고, 90° 를 넣으면 cos 가 0 이라 피타고라스 정리로 돌아온다.
피타고라스 정리는 직각삼각형에서만 성립한다. 코사인법칙은 거기에 보정항 −2bc cos A 하나를 붙여 모든 삼각형으로 넓힌 식이다. A = 90° 를 넣으면 cos A 가 0 이라 보정항이 사라지고 그대로 피타고라스 정리가 된다. 두 변과 낀각을 알 때 남은 변을, 세 변을 알 때 각을 준다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 두 변과 낀각이 주어진 삼각형에서 남은 변을 구한다
- A = 90° 를 넣어 피타고라스 정리의 확장임을 확인한다
- 세 변에서 각을 구하는 꼴로 변형해 쓴다
한 단계씩 유도해 보기
C 에서 AB 에 수선을 내리고 그 발을 H 라 한다. A 가 예각인 그림이다. 직각삼각형 ACH 에서 높이와 밑변이 이렇게 읽힌다.
1 / 5 단계
외울까, 되살릴까
외우는 편이 싸다
유도는 수선 하나로 끝나지만 시험장에서 틀리는 것은 부호와 자리다. A = 90° 를 넣어 피타고라스로 되돌아오는지로 검산한다.
피타고라스 a² = b² + c² 를 먼저 쓰고 뒤에 −2bc cos A 를 붙인다. 붙는 두 변 b, c 는 각 A 를 끼고 있는 두 변이고 a 는 A 의 대변이다. 부호가 헷갈리면 A = 90° 를 넣는다. cos A 가 0 이 되어 피타고라스로 돌아오면 맞게 쓴 것이고, A 가 예각이면 a 가 더 짧아져야 하므로 보정항은 빠지는 쪽이다.
이런 실수를 조심하세요
- 보정항의 부호를 + 로 두는 경우. A 가 예각이면 a 는 짧아져야 하므로 − 다
- cos 자리에 낀각이 아닌 각을 넣는 경우. A 는 구하는 변 a 의 대각이다
- 보정항의 계수를 bc 로 적는 경우. 2bc 다
예제
문제. b = 5, c = 8, A = 60° 인 삼각형에서 a 의 길이를 구하시오.
답. 7
a² = 5² + 8² − 2 × 5 × 8 × cos60° = 25 + 64 − 40 = 49 이므로 a = 7 이다.
직접 만져 보기
이어서 학습하기
히파르코스 밤하늘을 재기 위해 최초의 삼각함수표를 만든, 삼각법의 아버지 생활 속 수학 🌍 GPS는 어떻게 내 위치를 알까 · 삼각측량의 수학 위성 셋까지의 거리만 알면 지구 위 한 점이 정해진다 수업에서 쓰기 🎞 직각이 아니어도 잴 수 있다 대수 삼각함수 · 6장 · 브라우저에서 바로 열립니다 직접 만져 보기 🔬 삼각형 실험대 꼭짓점을 끌어도 세 각의 합은 180° 전체 흐름 보기 🧠 개념 지도 이 공식이 어디서 오고 어디로 이어지는지 한눈에