사인법칙과 코사인법칙
사인법칙 · 코사인법칙
삼각형의 변과 각을 잇는 두 관계. 사인법칙은 변과 마주 보는 각을, 코사인법칙은 세 변과 한 각을 잇는다.
고2 에서 배웁니다.
두 변이 , 이고 그 낀각이 인 삼각형에서 셋째 변을 라 하면 이므로 다.
왜 그런가
삼각형은 변 셋과 각 셋, 모두 여섯 요소를 갖는다. 그런데 합동 조건이 말하듯 그중 알맞은 셋만 알면 모양이 하나로 정해진다. 모양이 정해졌다면 나머지 셋도 계산으로 찾을 수 있어야 한다. 그 계산을 해 주는 도구가 이 두 법칙이다. 직각삼각형에서만 쓰던 삼각비를 모든 삼각형으로 넓힌 셈이다.
사인법칙의 은 외접원의 지름이다. 변 는 외접원의 현이고, 그 현을 맞은편 에서 바라본 각이 다. 같은 호를 바라보는 원주각은 모두 같으므로, 를 원 위에서 옮겨 의 정반대 자리에 두어도 각은 그대로다. 그러면 지름을 빗변으로 하는 직각삼각형이 생기고 거기서 가 나온다. 변의 길이는 그 변을 바라보는 각의 사인에 지름을 곱한 것이다. 가 둔각이면 옮긴 자리에서 본 각이 가 되지만, 사인 값이 같아서 식은 그대로 성립한다.
코사인법칙은 피타고라스 정리를 직각이 아닌 삼각형으로 넓힌 것이다. 이면 이라 끝의 항이 사라지고 으로 돌아간다. 가 예각이면 이 보다 모자라고, 둔각이면 가 음수라 넘친다. 끝의 항 가 바로 그 모자라거나 넘치는 양이다.
장면으로 보기 · 직각이 아니면 넘치거나 모자란다
b² + c² = 25.00 a² = 13.00 넘친 물 12.00 빈 자리 0.00
세 넓이는 정사각형 꼭짓점의 좌표로 재고, 넘친 물은 아래 통에 모인 양이다. 비교: 2bc·cos A = 24 × cos 60° = 12.00
두 정사각형의 물을 셋째 정사각형에 부으면 끼인각이 직각일 때만 꼭 찬다. 각이 좁으면 넘치고 넓으면 모자라는데, 그 양이 늘 2bc·cos A 다. 그래서 a² = b² + c² − 2bc cos A 이고, 90° 를 넣으면 cos 가 0 이라 피타고라스 정리로 돌아온다.
사인법칙과 코사인법칙
흔한 오해
사인법칙으로 각을 구하면 답이 둘일 수 있다. 이면 는 일 수도 일 수도 있다. 두 각의 사인이 같기 때문이다. 세 각의 합이 를 넘지 않는지, 긴 변이 큰 각을 마주 보는지로 가려야 한다. 코사인법칙으로 구하면 이런 일이 없다. 와 사이에서는 코사인 값 하나에 각이 하나뿐이다.
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