중2 도형과 측정

피타고라스 정리

피타고라스의 정리 · 구고현의 정리 · 빗변

직각삼각형에서 빗변의 제곱은 나머지 두 변의 제곱의 합과 같다.

초등중등고등

중2 에서 배웁니다.

두 변이 $3$ , $4$ 인 직각삼각형의 빗변은 $3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ 다.

왜 그런가

변의 제곱은 그 변으로 세운 정사각형의 넓이다. 그래서 이 정리는 넓이의 이야기다. 직각을 낀 두 변에 세운 정사각형 두 개를 잘라 옮기면 빗변에 세운 정사각형 하나를 빈틈없이 채운다.

a^{2} + b^{2} = c^{2}

길이를 직접 재지 않고 계산으로 얻는다는 것이 힘이다. 좌표평면에서 두 점 사이의 거리, 직사각형의 대각선, 상자의 가장 긴 대각선이 모두 이 정리 하나로 나온다.

직각이 아니면 등호가 깨진다. 끼인각이 직각보다 크면 $c^{2}$ 이 더 크고, 작으면 더 작다. 그 차이를 정확히 메우는 것이 코사인법칙이다.

장면으로 보기 · 넓이를 쏟아 붓다

넓이를 쏟아 붓다

a² + b² = 9.00 + 16.00 = 25.00 c² = 25.00 부은 양 0.00

a = 3.0, b = 4

짧은 두 변의 정사각형에 든 물을 쏟으면 빗변의 정사각형이 넘치지도 모자라지도 않고 꼭 찹니다. 삼각형 모양을 바꿔도 마찬가지입니다. 이것이 a² + b² = c² 입니다.

피타고라스 정리 그 역

출발 직각삼각형이다

a^{2} + b^{2} = c^{2}

이다

결론

a^{2} + b^{2} = c^{2}

이다 직각삼각형이다

쓰는 곳 모르는 변의 길이 구하기 직각인지 판정하기

고대 그리스의 피타고라스 학파에서 이름을 땄지만, 그보다 천 년 넘게 앞선 바빌로니아 점토판에 이미 이 관계를 만족하는 세 수가 적혀 있다. 동아시아에서는 직각을 낀 두 변을 구(句)와 고(股), 빗변을 현(弦)이라 불러 「구고현의 정리」라고 했다.

빗변이 어느 변인지부터 정한다. 빗변은 직각의 맞은편에 있는 가장 긴 변이다. 두 변이 $5$ , $12$ 일 때 둘 다 직각을 낀 변이면 빗변은 $13$ 이지만, $12$ 가 빗변이면 남은 변은 $1 2^{2} - 5^{2} = 119$ 다.