시그마 공식
1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 1 + 8 + 27 + 64 = 100 정사각형 10 × 10 = 100 칸 · 빈칸 0 · 겹친 칸 0 한 변 10 = 1 + 2 + 3 + 4
쌓기나무와 칸은 하나씩 세고, 한 변은 칸이 차지한 열의 수, 띠의 폭은 맨 아랫줄에서 그 색이 차지한 칸 수다. 짝수 정육면체는 판 한 장을 반으로 잘라 두 팔 끝에 나눠 붙인다. 비교: {n(n + 1) ÷ 2}² = (4 × 5 ÷ 2)² = 100
쌓기나무 k³ 개를 k × k 판 k 장으로 펴서 정사각형의 오른쪽과 위에 폭 k 인 ㄱ자로 두르면 빈틈없이 꼭 맞는다. 1 부터 n 까지 두르면 한 변이 1 + 2 + … + n 인 정사각형이 되므로, 세제곱의 합은 (1 + 2 + … + n)² = {n(n + 1)/2}² 이다. k 가 짝수면 판 한 장을 반으로 잘라 두 팔 끝에 하나씩 붙인다.
시그마는 "1부터 n 까지 차례로 더하라"는 명령을 기호 하나로 줄인 것이다. k, k², k³ 의 합에는 매번 더하지 않아도 되는 닫힌 공식이 있고, 이 셋만 손에 있으면 대부분의 합 문제는 대입으로 끝난다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- Σ 기호를 읽고 항수를 정확히 센다
- Σk, Σk², Σk³ 공식을 대입해 합을 구한다
- Σ 의 성질(상수배·합의 분리)로 식을 쪼갠다
한 단계씩 유도해 보기
구하려는 합을 S 라 두고,
1 / 2 단계· 💎 2단계 더
외울까, 되살릴까
외우는 편이 싸다
k 의 합은 되살아나지만 k² 의 합은 외운다.
k 의 합은 가우스 짝짓기로 되살아난다. 외울 것은 k² 의 합 하나다. n(n+1)(2n+1)/6 에서 분모 6 과 마지막 자리 2n+1 만 붙잡으면 된다. 검산은 n = 1 을 넣는다. 1·2·3/6 = 1 이고 실제 합도 1 이라 맞는다. n = 2 로 한 번 더 하면 5 가 나와야 한다. k³ 의 합은 따로 외우지 않아도 된다. k 의 합을 제곱한 것이라 {n(n+1)/2}² 이다.
카를 프리드리히 가우스