고2 변화와 관계

수학적 귀납법

첫 번째에서 참이고, 하나가 참이면 다음도 참임을 보여 모든 자연수에서 참임을 증명하는 방법.

초등중등고등

고2 에서 배웁니다.

$1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ 를 모든 자연수 $n$ 에서 증명할 때 쓴다.

왜 그런가

도미노와 같다. 첫 도미노가 넘어지고, 어떤 도미노든 넘어지면 다음 것을 넘어뜨린다는 것을 알면, 줄이 아무리 길어도 전부 넘어진다.

그래서 두 단계를 보인다. 먼저 $n = 1$ 에서 참임을 확인한다. 다음으로 $n = k$ 에서 참이라고 가정하고, 그로부터 $n = k + 1$ 에서도 참임을 보인다. 위의 예에서는 $\frac{k ( k + 1 )}{2} + (k + 1) = \frac{( k + 1 ) ( k + 2 )}{2}$ 를 보이면 된다.

몇 개를 넣어 보고 맞으니 「아마 늘 맞겠지」 하는 것과는 다르다. 끝없이 많은 경우를 유한한 두 단계로 빈틈없이 덮는 증명이다.

수학적 귀납법과 일상의 귀납 추론

수학적 귀납법 일상의 귀납 추론

방법 두 단계로 모든 경우를 덮는다 몇 가지 예에서 규칙을 짐작한다

결론 반드시 참 틀릴 수 있다

이름의 유래

이름에 「귀납」이 들어 있지만 실제로는 빈틈없는 연역 증명이다. 몇 개의 예에서 일반 법칙을 끌어내는 일상의 귀납 추론과 겉모양이 닮아 이 이름이 붙었다.

흔한 오해

첫 단계를 빼먹으면 거짓도 「증명」된다. 「 $n = n + 1$ 」은 $n = k$ 에서 참이라 가정하면 양변에 $1$ 을 더해 $k + 1$ 에서도 참이 되지만, $n = 1$ 에서 $1 = 2$ 라 처음부터 거짓이다. 넘어지는 첫 도미노가 있어야 한다.

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