도형의 둘레와 넓이

개요

둘레는 도형의 경계 길이이고, 넓이는 도형이 덮는 평면의 크기다. 길이는 $\text{cm}$, 넓이는 $\text{cm}^2$ 처럼 단위 자체가 다르다는 점이 이 단원의 첫 관문이다. 앞의 두 소단원에서 익힌 단위와 밑변·높이를 그대로 가져다 쓰니, 새로 외울 것은 공식 몇 개뿐이다.

핵심 사실

• 직사각형: 넓이 $S = a \times b$, 둘레 $\ell = 2(a + b)$
• 삼각형: 넓이 $S = \dfrac{1}{2} \times (\text{밑변}) \times (\text{높이})$
• 평행사변형: 넓이 $S = a \times h$ (밑변 $a$, 밑변에 수직인 높이 $h$). 높이를 따라 자른 조각을 반대쪽으로 옮기면 직사각형이 된다. 단계별 유도는 평행사변형의 넓이 편에 있다.
• 사다리꼴: 넓이 $S = \dfrac{1}{2}(a + b)h$ (평행한 두 변 $a$, $b$). 같은 사다리꼴 둘을 돌려 붙이면 밑변이 $a + b$ 인 평행사변형이다. 단계별 유도는 사다리꼴의 넓이 편에 있다.
• 마름모: 넓이 $S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2$ (두 대각선 $d_1$, $d_2$). 꼭 둘러싸는 직사각형의 절반이다. 단계별 유도는 마름모의 넓이 편에 있다.
• 원: 둘레 $\ell = 2\pi r$, 넓이 $S = \pi r^2$
• 넓이의 단위는 길이의 단위를 제곱한 것이다. $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$ 지만 $1\,\text{m}^2 = 10000\,\text{cm}^2$ 이다.

넓이 공식은 약속에서 시작합니다. 한 변이 $1$ 인 정사각형의 넓이를 $1$ 로 정하는 것입니다. 거기서 직사각형이 나오고, 삼각형은 그 직사각형을 비스듬히 민 평행사변형을 반으로 자른 것입니다. 사각형 셋도 같은 수법입니다. 평행사변형은 잘라 옮기고, 사다리꼴과 마름모는 둘을 붙이거나 직사각형으로 감싸 절반을 취합니다. 아래 프리셋으로 다섯 유도를 번갈아 보면 왜 어떤 도형에만 $\div 2$ 가 붙는지가 보입니다.

직사각형의 넓이 유도삼각형의 넓이 유도평행사변형의 넓이 유도사다리꼴의 넓이 유도마름모의 넓이 유도

$$1\times 1=1$$

한 변이 1인 단위 정사각형의 넓이를 1로 약속한다.

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