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평면도형의 성질

다각형의 내각·외각의 합을 공식으로 정리하고, 원과 부채꼴에서 중심각·호·넓이가 어떻게 비례하는지 익힌다.

가르칠 때 짚을 것 교사용

시험에 나오는 것

내각의 합 공식은 넣으면 나온다. 배점은 외각으로 가면 한 줄인 문항을 내각으로 돌아가 푸는가에서 갈린다. 정

n

각형의 한 내각도 외각

\frac{36 0 ^{\circ}}{n}

에서 빼는 편이 빠르다. 외각 쪽 길을 먼저 보는 습관에 시간을 쓴다.

여기서 무너집니다

부채꼴의 호와 넓이 공식을 통째로 외우다 서로 섞는다. 비율 하나로 줄인다. 중심각이 전체의 몇 분의 몇인지 먼저 분수로 쓰게 하고, 그 분수를 원의 둘레나 넓이에 곱하게 하면 외울 공식이 없어진다.

확인 질문

반지름 $6$ , 중심각 $6 0^{\circ}$ 인 부채꼴의 넓이를 구하고, $60$ 이라는 수를 어디에 썼는지 말해 보세요.

$6 π$ 와 함께 " $\frac{60}{360} = \frac{1}{6}$ 이라 원의 $\frac{1}{6}$ "이 나오면 통과. 공식에 대입만 했다면 호의 길이 문항에서 같은 실수가 되풀이된다.

개요

삼각형의 세 각의 합이 $180^\circ$ 라는 사실을 발판 삼아, 이제 어떤 다각형이든 각의 합을 계산할 수 있다. 또한 곡선으로 이루어진 원에서도 중심각을 통해 호의 길이와 부채꼴의 넓이를 정확히 구한다. 다각형과 원은 넓이·부피 계산의 기본 재료다.

핵심 사실

정의

다각형의 내각의 합: $n$ 각형은 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 $(n-2)$ 개의 삼각형으로 나뉜다. 따라서

\text{내각의 합}=180^\circ \times (n-2)

다각형의 외각의 합: 몇 각형이든 항상 $360^\circ$ 다. 꼭짓점마다 내각과 외각이 $180^\circ$ 를 이루므로, 그것을 $n$ 번 모았다가 내각의 합을 빼면 $n$ 이 지워진다. (외각의 합에 단계별 유도를 적어 두었다.)
정다각형의 한 내각: $\dfrac{180^\circ \times (n-2)}{n}$
다각형의 대각선의 개수: 한 꼭짓점에서 $n-3$ 개를 그을 수 있고 꼭짓점이 $n$ 개인데, 한 대각선을 양 끝에서 두 번 세므로 $\dfrac{n(n-3)}{2}$ 개다. (대각선의 개수 · 내각의 합에 단계별 유도를 적어 두었다.)
부채꼴: 원에서 두 반지름과 호로 둘러싸인 부분. 중심각의 크기에 호의 길이와 넓이가 정비례한다.
호의 길이와 넓이 (반지름 $r$ , 중심각 $x^\circ$ ):

\ell = 2\pi r \times \frac{x}{360}, \qquad S = \pi r^2 \times \frac{x}{360} = \frac{1}{2}\, r \ell

원의 넓이가 왜 $\pi r^2$ 인지는 원을 잘게 잘라 번갈아 붙이는 한 장면으로 설명됩니다. 가로 $\pi r$ , 세로 $r$ 인 직사각형에 가까워집니다. 부채꼴은 그 원을 중심각의 비율로 나눠 가진 것이고, 프리셋의 마지막 단계에서 중심각 없이 호의 길이만으로 넓이를 구하는 식이 나옵니다.

ℓ = 2 π r

반지름 r인 원의 둘레. π는 지름에 대한 둘레의 비이다.

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