고1 함수
합성함수의 역함수
f 를 먼저 하고 g 를 나중에 한 합성함수를 되돌리려면 g 부터 되돌리고 f 를 나중에 되돌려야 한다. 양말을 신고 신발을 신었으면 신발을 먼저 벗는 것과 같다. 그래서 역함수를 씌우면 합성의 순서가 뒤집힌다. 역함수의 정의에서 두 줄 만에 나오는 성질이지만, 순서를 그대로 둔 g⁻¹ ∘ f⁻¹ 이 가장 흔한 오답이라 따로 세워 둔다. f 와 g 가 모두 일대일대응이어야 역함수가 있다.
이 공식, 이렇게 학습하세요
- 합성함수의 역함수에서 합성의 순서가 뒤집히는 까닭을 설명한다
- 역함수의 정의로 (g ∘ f)⁻¹ = f⁻¹ ∘ g⁻¹ 을 유도한다
- 역함수의 식을 세우지 않고 합성함수의 역함숫값을 구한다
한 단계씩 유도해 보기
f 와 g 가 모두 일대일대응이면 그 합성도 일대일대응이라 역함수가 있다. x 에 f 를 먼저 하고 그 결과에 g 를 한 값을 y 라 둔다.
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외울까, 되살릴까
외우지 않아도 된다
되돌릴 때는 나중에 한 것부터 되돌린다. 양말과 신발의 순서다.
y = g(f(x)) 에서 g 를 먼저 벗기고 f 를 나중에 벗긴다. 합성 기호는 오른쪽이 먼저라, 먼저 벗긴 g⁻¹ 을 오른쪽에 적는다. 확인은 (g ∘ f) 와 (f⁻¹ ∘ g⁻¹) 을 합성해 가운데 g 와 g⁻¹ 이 붙어 지워지는지 보는 것이다.