합성함수
함수의 합성
한 함수의 결과를 다른 함수에 다시 넣어 만든 함수. 다.
고1 에서 배웁니다.
, 이면 , 다.
왜 그런가
함수를 기계로 보면 합성함수는 기계 두 대를 이어 붙인 생산 라인이다. 첫 기계에서 나온 것이 그대로 둘째 기계에 들어간다. 원화를 달러로 바꾸고, 달러를 다시 엔화로 바꾸는 것이 그렇다.
순서가 중요하다. 는 를 먼저, 를 나중에 한다. 양말을 신고 신발을 신는 것과 신발을 신고 양말을 신는 것이 다르듯, 순서를 바꾸면 대개 결과가 달라진다.
복잡한 함수를 간단한 함수의 합성으로 쪼개 보면 다루기 쉬워진다. 미분에서 합성함수의 변화율은 각 단계의 변화율을 곱한 것이 된다. 톱니바퀴를 이으면 빠르기가 곱해지는 것과 같다.
장면으로 보기 · 톱니바퀴 셋, 빠르기는 곱해진다
u 바퀴 ÷ x 바퀴 2.00 y 바퀴 ÷ u 바퀴 3.00 y 바퀴 ÷ x 바퀴를 곧장 재면 6.00 두 톱니비의 곱 2.00 × 3.00 = 6.00
톱니비는 x 를 0.0001 만큼 앞뒤로 움직였을 때 바퀴의 각이 바뀐 양을 나눠 잰다. 색 부채꼴은 x 바퀴가 톱니 한 칸 도는 동안 각 바퀴가 도는 각이다. 비교: 미분법으로 f′(g(x)) · g′(x) = 3u² × 2x = 6.00
u = x² 이고 y = u³ 이면 y 는 x 의 합성함수다. x 를 조금 돌리면 u 가 x 의 몇 배만큼 돌고, u 가 돈 만큼 y 가 u 의 몇 배만큼 돈다. 그래서 y 가 x 의 몇 배로 도는지는 두 배율을 곱한 것이다. x = 1 에서 2 배와 3 배라 6 배다. 배율은 자리마다 바뀌지만 곱이 전체의 배율이라는 것은 어디서나 같다. 이것을 적은 것이 {f(g(x))}′ = f′(g(x)) g′(x) 다.
g∘f와 f∘g
흔한 오해
는 왼쪽부터 읽는 것이 아니다. 기호에 가까운 가 를 먼저 받는다. 로 풀어 쓰면 안쪽 괄호부터 계산한다는 것이 보인다.
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