일대일대응
두 집합의 원소가 남지도 겹치지도 않고 꼭 하나씩 짝지어지는 대응.
고1 에서 배웁니다.
실수 전체에서 실수 전체로 가는 은 일대일대응이다. 는 과 이 같은 값 으로 가므로 일대일대응이 아니다.
왜 그런가
강당의 의자와 사람을 짝지었을 때 빈 의자도 서 있는 사람도 없으면, 세어 보지 않아도 둘의 수가 같다는 것을 안다. 손가락을 꼽아 수를 세는 것도 물건과 손가락을 하나씩 짝짓는 일이다. 일대일대응은 이 짝짓기를 수학의 말로 적은 것이다.
조건은 둘이다. 먼저 정의역의 서로 다른 원소는 서로 다른 값으로 가야 한다. 한 의자에 두 사람이 앉지 않는다는 뜻이고, 이것만 맞으면 일대일함수다. 다음으로 공역에 짝 없이 남는 원소가 없어야 한다. 빈 의자가 없다는 뜻이고, 치역이 공역과 같다는 말이다. 둘이 다 맞아야 일대일대응이다.
일대일대응이면 짝을 거꾸로 따라갈 수 있다. 받는 쪽의 원소마다 출발한 원소가 꼭 하나씩 있기 때문이다. 그래서 일대일대응일 때만 역함수가 있다. 그래프로 보면, 공역의 어느 값에서 가로로 선을 그어도 그래프와 꼭 한 점에서 만난다.
일대일함수와 일대일대응
흔한 오해
일대일함수라고 일대일대응인 것은 아니다. 를 실수 전체에서 실수 전체로 가는 함수로 보면, 서로 다른 가 서로 다른 값으로 가니 일대일함수다. 그러나 과 음수는 어떤 와도 짝이 없이 남는다. 받는 쪽을 양수 전체로 잡아야 일대일대응이 된다.
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