고1 변화와 관계

정의역과 치역

정의역 · 치역 · 공역

함수에 넣을 수 있는 값의 모임이 정의역, 실제로 나오는 값의 모임이 치역이다.

초등중등고등

고1 에서 배웁니다.

$f (x) = x$ 의 정의역은 $x \geq 0$ 이고 치역은 $y \geq 0$ 이다. 음수를 넣으면 실수에서 값이 없다.

왜 그런가

함수는 규칙만으로 정해지지 않는다. 무엇을 넣을지와 결과가 어디에 속하는지까지 정해야 한다. 같은 $y = x^{2}$ 이라도 정의역이 모든 실수면 역함수가 없지만, $x \geq 0$ 으로 자르면 역함수 $y = x$ 가 생긴다.

정의역은 문제 상황이 정하기도 한다. 한 변이 $x$ 인 정사각형의 넓이 $y = x^{2}$ 에서는 $x$ 가 음수일 수 없다. 식이 정하기도 한다. 분모가 $0$ 이 되는 값, 근호 안이 음수가 되는 값은 뺀다.

공역은 결과가 들어갈 자리로 미리 정해 둔 모임이고, 치역은 그중 실제로 나오는 값만 모은 것이다. 그래서 치역은 언제나 공역 안에 있다.

공역 치역

뜻 결과가 들어갈 자리로 정한 모임 실제로 나온 값의 모임

y = x^{2}

, 공역이 실수 전체일 때 실수 전체

y \geq 0

정의역(定義域)은 「함수가 정의되는 범위」, 치역(値域)은 「함숫값의 범위」라는 뜻이다.

식을 바꾸다가 정의역을 잃기 쉽다. $y = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ 을 약분해 $y = x + 1$ 로 쓰면 같은 함수처럼 보이지만, 원래 함수는 $x = 1$ 에서 값이 없다. 그래프에 구멍이 하나 뚫린다.

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