고1 변화와 관계

역함수

함수의 입력과 출력을 맞바꿔, 결과에서 원래 값으로 되돌아가는 함수.

초등중등고등

고1 에서 배웁니다.

$f (x) = 2 x + 1$ 은 $3$ 을 $7$ 로 보낸다. 역함수 $f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{2}$ 은 $7$ 을 다시 $3$ 으로 돌려보낸다.

왜 그런가

함수가 화살표를 따라 보내는 것이라면, 역함수는 화살표를 거꾸로 타는 것이다. $f$ 로 갔다가 $f^{- 1}$ 로 돌아오면 제자리다.

거꾸로 탈 수 있으려면 도착점마다 출발점이 하나뿐이어야 한다(일대일대응). $y = x^{2}$ 은 $4$ 에서 거꾸로 가면 $2$ 와 $- 2$ 로 갈라지므로, 실수 전체에서는 역함수가 없다. $x \geq 0$ 으로 범위를 자르면 역함수 $y = x$ 가 생긴다.

입력과 출력을 바꾸므로 그래프는 직선 $y = x$ 에 대해 뒤집힌다. 지수함수와 로그함수, 제곱과 제곱근이 이런 짝이다.

역함수 역수

기호

f^{- 1} (x)

\frac{1}{f ( x )}

f (x) = 2 x

이면

\frac{x}{2}

\frac{1}{2 x}

역(逆)은 「거스르다, 거꾸로」다. 기호의 $- 1$ 은 거듭제곱이 아니라 「거꾸로 한 번」을 뜻하는 약속이다.

$f^{- 1} (x)$ 는 $\frac{1}{f ( x )}$ 가 아니다. 같은 $- 1$ 이 붙어 있어 헷갈리지만, 역함수는 되돌리는 함수이고 역수는 $1$ 을 나눈 값이다.