이자를 자주 붙일수록
1 원을 연 100% 이자로 맡긴다. 1년에 한 번 붙이면 2 원, 매달이면 2.61 원, 매초면 2.718… 어디까지 오를까
이자를 자주 붙일수록
n = 12 연말 잔고 = 2.6130 원 n 을 아무리 올려도 2.7183 을 못 넘는다
잔고는 1 에 (1 + 1/n) 을 n 번 곱한 값이다. 멈추는 값은 n = 100000 으로 같은 곱을 돌린 2.71827 이다. 비교: e = 2.71828
이자를 자주 붙일수록 잔고는 늘지만 끝없이 늘지는 않는다. 그 한계가 e 이고, 이것이 지수함수의 밑이 e 인 이유다.
59초로 듣기이 장면을 설명하는 쇼츠
📐 지수와 로그의 기본 극한 공식에서 한 단계씩 유도하기 →
이 장면 뒤의 개념
다른 쇼케이스
sin x / x → 1
각이 작아지면 셋이 하나가 된다
단위원의 부채꼴을 안팎 삼각형이 끼운다. 각이 0 으로 가면 셋의 넓이가 겹쳐 하나가 되고, 그래서 sin x ÷ x 가 1 로 간다
Σ 1/k(k+1) → 1도미노처럼 지워지는 합
1/(1·2) + 1/(2·3) + … 을 부분분수로 쪼개면 가운데가 전부 지워지고 처음과 끝만 남는다. n 을 아무리 늘려도 1 을 못 넘는다
d/dx ∫ f = f(x)넓이가 자라는 빠르기
x 를 오른쪽으로 밀면 곡선 아래 넓이가 자란다. 그 자라는 빠르기가 바로 그 자리의 높이 f(x) 다
Δx = ∫ v dt달린 거리는 그래프 아래 넓이
차가 달리는 동안 속도 그래프 아래 넓이가 쌓여 간 거리가 된다. 후진하면 넓이가 깎이고 위치는 돌아온다
L = ∫ √(1 + (dy/dx)²) dx곡선을 잘라 펴면
곡선을 잘게 잘라 곧게 펴면 직선 한 줄. 조각이 많을수록 길이가 참값에 붙는다
S = n(a + l)/2계단을 뒤집어 붙이면
일정하게 늘어나는 수를 쌓은 계단을 복제해 뒤집어 붙이면 직사각형이 된다. 그래서 합은 (첫항 + 끝항) × n ÷ 2