세제곱을 쌓으면 정사각형
1³ + 2³ + 3³ + 4³ 은 100, 곧 10 × 10 이다. 정육면체를 판으로 펴서 ㄱ자로 두르면 세제곱의 합이 늘 정사각형이 된다
1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 1 + 8 + 27 + 64 = 100 정사각형 10 × 10 = 100 칸 · 빈칸 0 · 겹친 칸 0 한 변 10 = 1 + 2 + 3 + 4
쌓기나무와 칸은 하나씩 세고, 한 변은 칸이 차지한 열의 수, 띠의 폭은 맨 아랫줄에서 그 색이 차지한 칸 수다. 짝수 정육면체는 판 한 장을 반으로 잘라 두 팔 끝에 나눠 붙인다. 비교: {n(n + 1) ÷ 2}² = (4 × 5 ÷ 2)² = 100
쌓기나무 k³ 개를 k × k 판 k 장으로 펴서 정사각형의 오른쪽과 위에 폭 k 인 ㄱ자로 두르면 빈틈없이 꼭 맞는다. 1 부터 n 까지 두르면 한 변이 1 + 2 + … + n 인 정사각형이 되므로, 세제곱의 합은 (1 + 2 + … + n)² = {n(n + 1)/2}² 이다. k 가 짝수면 판 한 장을 반으로 잘라 두 팔 끝에 하나씩 붙인다.
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직사각형을 곡선이 가른다
곡선이 직사각형을 두 넓이로 가른다. 곡선을 아무리 휘어도 두 넓이의 합은 uv 의 차 그대로라, 한쪽을 알면 다른 쪽이 나온다
(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3정육면체를 여덟 조각으로
한 변이 a + b 인 정육면체를 잘라 여덟 조각을 모양대로 모으면 1 · 3 · 3 · 1 개. 가운데 계수 3 은 같은 조각이 세 개라서다
{f(g(x))}′ = f′(g(x)) g′(x)톱니바퀴 셋, 빠르기는 곱해진다
x = 1 에서 x 바퀴를 한 칸 돌리면 u 는 두 칸, y 는 여섯 칸. 속이 x 보다 몇 배, 겉이 속보다 몇 배 빨리 도는지를 곱하면 전체의 빠르기가 나온다
∫ 1/x dx = ln|x| + C1/x 아래 넓이는 곱을 합으로
1/x 아래 띠를 가로로 늘이고 세로로 누르면 곡선을 따라 미끄러지며 넓이가 그대로다. 그래서 곱까지의 넓이가 두 넓이의 합이 된다
∫|a(x−α)(x−β)| dx = |a|(β−α)^3/6포물선을 삼각형으로 채우면 4/3
포물선과 직선 사이를 삼각형으로 채우면 단계마다 넓이가 1/4 로 준다. 다 채우면 첫 삼각형의 4/3, 직선을 기울여도 그대로다
px/a^2 + qy/b^2 = 1한 초점에서 친 공은 다른 초점으로
타원 모양 당구대의 한 초점에서 공을 치면 어느 방향으로 쳐도 벽에 맞고 다른 초점을 지난다. 스물네 개를 한꺼번에 치면 한꺼번에 모인다