직사각형을 곡선이 가른다
곡선이 직사각형을 두 넓이로 가른다. 곡선을 아무리 휘어도 두 넓이의 합은 uv 의 차 그대로라, 한쪽을 알면 다른 쪽이 나온다
노랑 ∫u dv 6.20 파랑 ∫v du 4.80 노랑 + 파랑 11.00 큰 직사각형 − 작은 직사각형 4 × 3 − 1 × 1 = 11.00
두 넓이는 곡선(1000 조각 꺾은선)과 축이 둘러싼 도형을 꼭짓점 좌표로 잰다. u = u(x), v = v(x) 라 dv = v'dx, du = u'dx 다. 비교: ∫u v' dx 를 x 로 잘게 나눠 더하면 6.20, uv − ∫u'v dx = 11.00 − 4.80 = 6.20
점 (u, v) 가 곡선을 따라 움직이면, 곡선이 큰 직사각형에서 모서리의 작은 직사각형을 뺀 땅을 둘로 가른다. 왼쪽 조각은 길이 u, 두께 dv 인 가로 띠를 쌓은 ∫u dv 이고, 아래 조각은 높이 v, 폭 du 인 세로 띠를 쌓은 ∫v du 다. 곡선이 어떻게 휘든 둘을 합치면 uv 의 끝값에서 처음값을 뺀 것이 되고, 이것을 옮겨 적은 것이 ∫uv' dx = uv − ∫u'v dx 다.
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정육면체를 여덟 조각으로
한 변이 a + b 인 정육면체를 잘라 여덟 조각을 모양대로 모으면 1 · 3 · 3 · 1 개. 가운데 계수 3 은 같은 조각이 세 개라서다
{f(g(x))}′ = f′(g(x)) g′(x)톱니바퀴 셋, 빠르기는 곱해진다
x = 1 에서 x 바퀴를 한 칸 돌리면 u 는 두 칸, y 는 여섯 칸. 속이 x 보다 몇 배, 겉이 속보다 몇 배 빨리 도는지를 곱하면 전체의 빠르기가 나온다
∫ 1/x dx = ln|x| + C1/x 아래 넓이는 곱을 합으로
1/x 아래 띠를 가로로 늘이고 세로로 누르면 곡선을 따라 미끄러지며 넓이가 그대로다. 그래서 곱까지의 넓이가 두 넓이의 합이 된다
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포물선과 직선 사이를 삼각형으로 채우면 단계마다 넓이가 1/4 로 준다. 다 채우면 첫 삼각형의 4/3, 직선을 기울여도 그대로다
px/a^2 + qy/b^2 = 1한 초점에서 친 공은 다른 초점으로
타원 모양 당구대의 한 초점에서 공을 치면 어느 방향으로 쳐도 벽에 맞고 다른 초점을 지난다. 스물네 개를 한꺼번에 치면 한꺼번에 모인다
sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ직사각형 하나에 담긴 덧셈정리
직각삼각형 둘을 쌓으면 직사각형이 된다. 한쪽 변은 sin(α+β) 한 토막, 마주 보는 변은 두 토막이라 덧셈정리가 길이로 보인다. 두 각이 같으면 2배각