수2 미적분

접선의 방정식

y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)

📖 이 페이지의 개념접선

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재는 시간을 줄이면 평균이 순간이 된다

재는 시간 Δt = 0.050 초 간 거리 Δs = 0.0684 m 평균 속력 Δs ÷ Δt = 1.368 m/s

평균 속력은 두 시각의 위치 차를 걸린 시간으로 나눠 잰다. 비교: 속도 식 v = 3t − 0.75t² 로 구한 0.50 초의 순간 속도 =1.313 m/s

재는 시간 0.050 초

두 시각 사이에 간 거리를 걸린 시간으로 나누면 평균 속력이다. 재는 시간을 줄여 갈수록 그래프에서 두 점을 잇던 선(할선)이 그 점에서 곡선에 닿는 선(접선)으로 돌아가고, 평균 속력은 한 값으로 모인다. 그 값이 그 순간의 속도이고, 위치를 시간으로 미분한 값이다. 차가 앞으로만 가는 이 장면에서는 속도와 속력이 같다.

곡선 위 한 점에서의 접선은 그 점을 지나고 기울기가 f′(a) 인 직선이다. 미분이 접선의 기울기를 준다는 사실 하나와, 기울기와 한 점으로 직선을 세우는 법만 있으면 식이 완성된다.

이 공식, 이렇게 학습하세요

접점이 주어진 접선의 방정식을 세운다
곡선 밖의 점에서 그은 접선을 접점을 미지수로 두고 구한다
접선과 법선을 구분해 쓴다

한 단계씩 유도해 보기

접점 하나와 그 자리의 기울기 하나면 직선은 정해진다. 그 기울기가 미분계수다.

f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}

미분계수의 정의다. 이 값이 곡선 위의 점 (a, f(a)) 에서의 접선의 기울기다.

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외울까, 되살릴까

외우지 않아도 된다

점-기울기 꼴에 기울기 f′(a) 를 넣은 것이다.

직선 하나를 정하는 데는 기울기와 지나는 점이면 충분하다. 접선은 기울기가 f′(a), 지나는 점이 (a, f(a)) 이므로 점-기울기 꼴에 그대로 넣는다. 새 공식이 아니라 중2 에서 기울기와 한 점으로 직선을 구하던 그 방식이다. 법선은 같은 점에서 기울기만 음의 역수로 바꾼다.

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접점의 x = a

f(x) = x² 위의 점 x = 1.00 에서 접선의 기울기는 2.00 입니다.

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이어서 학습하기

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