식보다 먼저 장면으로 봅니다. 6개 장면을 순서대로 넘기면 미분이 무엇인지, 적분이 무엇인지, 그리고 둘이 왜 한 쌍인지가 이어집니다. 장면마다 손으로 밀고 끌 수 있습니다.
곡선의 한 점에서 얼마나 가파른지를 재는 일이다. 세 장면이 차례로 「무엇을」 「어떻게」 「그래서 무엇이 되는지」를 보인다.
1 곡선에 왜 직선이 붙을까
확대 × 80 왼쪽 기울기 -1.969 오른쪽 기울기 -1.870 차이 0.099
기울기는 확대 창의 끝과 P 를 이은 선으로 잰다(창의 가로 0.055). 비교: 공식으로 구한 순간 기울기 3x² − 3 = -1.920
곡선의 한 점을 계속 확대하면 곡선이 직선처럼 보인다. P 의 왼쪽과 오른쪽으로 그은 두 선의 기울기가 하나로 모이고, 그 값이 그 점의 순간 기울기(미분계수)다. 꺾인 점에서는 아무리 확대해도 두 기울기가 갈라진 채 남는다. 그래서 그 점에서는 미분할 수 없다고 한다.
곡선도 한 점을 아주 가까이서 보면 직선이다. 미분은 그 직선의 기울기를 구하는 일이다. 뾰족하게 꺾인 점에는 그런 직선이 없어서 미분할 수 없다.
2 한 순간의 빠르기는 무엇을 나눈 것일까
재는 시간 Δt = 0.050 초 간 거리 Δs = 0.0684 m 평균 속력 Δs ÷ Δt = 1.368 m/s
평균 속력은 두 시각의 위치 차를 걸린 시간으로 나눠 잰다. 비교: 속도 식 v = 3t − 0.75t² 로 구한 0.50 초의 순간 속도 =1.313 m/s
두 시각 사이에 간 거리를 걸린 시간으로 나누면 평균 속력이다. 재는 시간을 줄여 갈수록 그래프에서 두 점을 잇던 선(할선)이 그 점에서 곡선에 닿는 선(접선)으로 돌아가고, 평균 속력은 한 값으로 모인다. 그 값이 그 순간의 속도이고, 위치를 시간으로 미분한 값이다. 차가 앞으로만 가는 이 장면에서는 속도와 속력이 같다.
그 기울기를 실제로 재는 방법이다. 짧은 시간 동안의 평균을 재고, 재는 시간을 줄여 간다. 평균이 멈추는 값이 순간의 빠르기이고, 그래프에서는 두 점을 잇던 선이 접선이 된다.
3 기울기를 모으면 무엇이 될까
곡선 x³ − 3x x = 0.92 잰 기울기 = -0.439
기울기는 (f(x + h) − f(x − h)) / 2h 로 잰다(h = 0.001). 비교: 미분한 식 3x² − 3 = -0.439
위 곡선의 한 점에서 접선의 기울기를 재어, 아래 칸 같은 자리에 높이로 찍는다. 점을 끝까지 옮기면 찍힌 점들이 새 곡선이 되는데, 이 새 곡선이 도함수다. 위 곡선이 꼭대기나 바닥에서 평평해지는 자리마다 아래 곡선은 0 을 지난다. sin x 를 찍으면 cos x 가 나오고, eˣ 를 찍으면 자기 자신이 나온다.
자리마다 기울기를 재어 모으면 새 함수가 하나 생긴다. 이것이 도함수이고, 「미분한다」는 이 새 함수를 구한다는 뜻이다.
정육면체에 얇은 껍질을 씌우고 두께로 나누면 판 셋만 남는다. 그래서 x³ 을 미분하면 3x², 정육면체 겉넓이의 절반이다
(e^x)′ = e^x점을 어디로 옮겨도 접선의 기울기가 그 자리 높이의 몇 배인지는 그대로다. 그 배수가 1 인 밑은 딱 하나, e 다
{f(g(x))}′ = f′(g(x)) g′(x)x = 1 에서 x 바퀴를 한 칸 돌리면 u 는 두 칸, y 는 여섯 칸. 속이 x 보다 몇 배, 겉이 속보다 몇 배 빨리 도는지를 곱하면 전체의 빠르기가 나온다
잘게 나눈 조각을 다시 모으는 일이다. 곡선 아래 넓이를 재는 데서 시작한다.
4 곡선 아래 넓이는 어떻게 잴까
(1/n) Σ f(k/n) = 0.365234 ∫₀¹ f(x) dx = 1/3 = 0.333333 차이 +0.031901
막대를 반으로 쪼갤 때마다 곡선을 넘친 조각과 모자란 조각이 함께 줄어듭니다. n 이 커지면 둘 다 사라지고 막대 넓이의 합이 곡선 아래 넓이, 곧 정적분에 붙습니다. 이것이 lim (1/n) Σ f(k/n) = ∫₀¹ f(x) dx 입니다.
곡선 아래를 가는 막대로 채우고 막대를 점점 가늘게 한다. 계단이 사라지고 남는 값이 넓이이고, 이것이 정적분이다.
5 그 넓이는 무엇을 뜻할까
t = 10.0 s 위치 변화 ∫v = 6.75 m 달린 거리 ∫|v| = 26.67 m
두 값 모두 속도를 0.005 초마다 잘게 더한 것이다. 위치 변화는 부호째, 달린 거리는 크기만 더했다.
속도가 양수면 넓이가 쌓이고 음수면 깎인다. 위치 변화는 부호를 살린 넓이, 실제로 달린 거리는 부호를 뗀 넓이다.
속도 그래프 아래 넓이는 달린 거리다. 빠르기를 시간에 따라 쌓으면 간 거리가 된다. 앞에서 거리로 빠르기를 구한 것을 거꾸로 한 셈이다.
포물선과 직선 사이를 삼각형으로 채우면 단계마다 넓이가 1/4 로 준다. 다 채우면 첫 삼각형의 4/3, 직선을 기울여도 그대로다
∫ 1/x dx = ln|x| + C1/x 아래 띠를 가로로 늘이고 세로로 누르면 곡선을 따라 미끄러지며 넓이가 그대로다. 그래서 곱까지의 넓이가 두 넓이의 합이 된다
∫uv' dx = uv − ∫u'v dx곡선이 직사각형을 두 넓이로 가른다. 곡선을 아무리 휘어도 두 넓이의 합은 uv 의 차 그대로라, 한쪽을 알면 다른 쪽이 나온다
L = ∫ √(1 + (dy/dx)²) dx곡선을 잘게 잘라 곧게 펴면 직선 한 줄. 조각이 많을수록 길이가 참값에 붙는다
미분은 쪼개어 빠르기를 보고, 적분은 모아서 양을 본다. 방향이 반대인 두 일이 한 장면에서 만난다.
6 미분과 적분은 왜 한 쌍일까
x = 2.50 넓이 S(x) = 2.552 자라는 빠르기 = 2.06 비교: 그 자리의 높이 f(x) = 2.06
S(x) 는 0 부터 x 까지를 2000 조각으로 잘라 더한 넓이, 자라는 빠르기는 x 를 0.001 밀었을 때 늘어난 넓이 ÷ 0.001 이다.
넓이는 높이만큼씩 자란다. 그래서 넓이 함수를 미분하면 원래 함수가 나오고, 거꾸로 적분은 미분을 되감는 일이다.
넓이를 x 의 함수로 보고, 그 넓이가 자라는 빠르기를 잰다. 그 빠르기가 바로 그 자리의 높이다. 쌓은 것을 미분하면 원래 함수로 돌아온다. 이것이 미적분의 기본정리다.
장면이 「무엇이 일어나는지」를 보였다면, 소단원 본문은 「왜 그런지」를 차근차근 짚습니다.