고1 변화와 관계

나머지정리

인수정리 · 조립제법

다항식 $f (x)$ 를 $x - a$ 로 나눈 나머지는 $f (a)$ 와 같다.

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고1 에서 배웁니다.

$f (x) = x^{3} - 2 x + 5$ 를 $x - 2$ 로 나눈 나머지는 나눗셈을 하지 않아도 $f (2) = 8 - 4 + 5 = 9$ 다.

왜 그런가

나눗셈의 결과를 식으로 쓰면 $f (x) = (x - a) Q (x) + R$ 이다. 일차식으로 나누면 나머지 $R$ 은 상수다. 여기에 $x = a$ 를 넣으면 $(x - a)$ 가 $0$ 이 되어 몫이 통째로 사라지고 $f (a) = R$ 만 남는다.

긴 나눗셈을 값 하나 넣는 계산으로 바꾼 것이다. 몫이 무엇인지 몰라도 나머지는 바로 안다.

나머지가 $0$ 이면 나누어떨어진다. 그래서 $f (a) = 0$ 이면 $x - a$ 가 $f (x)$ 의 인수다(인수정리). 삼차식을 인수분해할 때 $\pm 1$ , $\pm 2$ 같은 값을 넣어 $0$ 이 되는 것을 찾는 까닭이 이것이다.

나머지정리 인수정리

말하는 것 나머지

= f (a)

f (a) = 0

이면

x - a

가 인수

쓰는 곳 나머지 구하기 인수분해의 실마리 찾기

$x + 2$ 로 나눈 나머지는 $f (2)$ 가 아니라 $f (- 2)$ 다. 나누는 식을 $0$ 으로 만드는 값을 넣는다. $2 x - 1$ 로 나누면 $f (\frac{1}{2})$ 이다.

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