내각과 외각
내각 · 외각
다각형의 안쪽 각이 내각, 한 변과 이웃 변의 연장선이 바깥에 이루는 각이 외각이다.
중1 에서 배웁니다.
삼각형의 두 내각이 , 이면 나머지 내각은 이고, 그 꼭짓점의 외각은 다. 는 와 같다.
왜 그런가
한 꼭짓점에서 내각과 외각은 일직선 하나를 나눠 가진다. 변을 늘인 연장선과 원래 변이 한 직선이기 때문이다. 그래서 둘을 더하면 늘 이고, 한쪽이 크면 다른 쪽이 작다. 뾰족한 모퉁이일수록 외각이 크고, 거의 펴진 모퉁이일수록 외각이 에 가깝다.
외각은 둘레를 따라갈 때 모퉁이에서 꺾이는 정도다. 정다각형의 변을 늘려 가면 모퉁이마다 덜 꺾이니 한 외각은 점점 작아지고 한 내각은 에 다가간다. 변이 아주 많은 정다각형이 원처럼 보이는 까닭이다. 그래도 외각을 다 모으면 늘 다. 하나하나가 작아지는 만큼 개수가 늘기 때문이다.
삼각형에서는 한 외각이 이웃하지 않는 두 내각의 합과 같다. 그 외각도, 이웃하지 않는 두 내각을 합친 것도 남은 한 내각과 더하면 가 된다. 같은 각을 로 채우는 짝이니 둘은 같을 수밖에 없다.
장면으로 보기 · 다각형을 줄이면 외각이 한 바퀴
외각 60.9 + 53.7 + 57.0 + 57.6 + 62.1 + 68.7 외각의 합 = 360.0° = 한 바퀴 × 1.000
다각형 둘레를 한 바퀴 걸으면 몸이 정확히 한 바퀴 돈다. 그 회전이 외각의 합이고, 몇 각형이든 360° 다.
내각과 외각
흔한 오해
외각은 꼭짓점 바깥쪽 전체가 아니다. 바깥쪽을 통째로 재면 에서 내각을 뺀 값이 나오지만, 외각은 변을 늘인 연장선까지만 재므로 에서 내각을 뺀 값이다. 내각이 인 꼭짓점의 외각은 가 아니라 다.
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