변곡점
이계도함수 · 위로 볼록 · 아래로 볼록 · 오목
곡선이 휘는 방향이 바뀌는 점. 위로 볼록한 부분과 아래로 볼록한 부분이 맞닿는 자리다.
고3 에서 배웁니다.
은 의 부호가 앞뒤로 바뀌므로 점 이 변곡점이다.
왜 그런가
자전거로 S 자 길을 달리면 핸들을 한쪽으로 꺾었다가 반대쪽으로 꺾는다. 그 사이에 핸들이 잠깐 똑바로 서는 순간이 있다. 곡선에서 그 자리가 변곡점이다.
휘는 방향은 접선의 기울기가 어떻게 변하는지로 읽는다. 오른쪽으로 갈수록 기울기 이 커지면 곡선은 아래로 볼록(∪)하고, 줄어들면 위로 볼록(∩)하다. 기울기의 변화를 재는 것이 을 한 번 더 미분한 이계도함수 이다.
그래서 변곡점은 기울기가 커지다가 줄어들기 시작하는(또는 그 반대인) 자리, 곧 이 극값을 갖는 자리다. 곡선이 그 근처에서 가장 가파르거나 가장 완만해진다. 소문을 들은 사람 수를 시간에 따라 그린 S 자 곡선에서는 한가운데가 그런 점이다. 그 순간 소문이 가장 빨리 퍼지고, 그 뒤로는 퍼지는 빠르기가 줄어든다. 정규분포 곡선의 변곡점은 평균에서 표준편차만큼 떨어진 두 자리 에 있다.
극값을 갖는 점과 변곡점
이름의 유래
변곡(變曲)은 「굽은 모양이 바뀐다」는 뜻이다. 영어 inflection 은 라틴어 inflectere(구부리다)에서 왔다.
흔한 오해
은 변곡점의 후보일 뿐이다. 은 이라 에서 이 되지만, 그 양쪽에서 모두 양수다. 아래로 볼록한 채로 지나가니 휘는 방향이 바뀌지 않고, 변곡점이 아니다.
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