고2 변화와 관계

극값

극대 · 극소 · 극댓값 · 극솟값

그래프가 오르다 내려오는 꼭대기(극대)와 내려가다 오르는 골짜기(극소)의 값.

초등중등고등

고2 에서 배웁니다.

$y = x^{3} - 3 x$ 는 $x = - 1$ 에서 극댓값 $2$ , $x = 1$ 에서 극솟값 $- 2$ 를 가진다.

왜 그런가

꼭대기와 골짜기에서는 접선이 수평이다. 그래서 극값을 찾을 때는 먼저 $f^{'} (x) = 0$ 인 자리를 찾는다. 위의 예는 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 0$ 에서 $x = \pm 1$ 이다.

그 자리에서 $f^{'}$ 의 부호가 바뀌는지 본다. $+$ 에서 $-$ 로 바뀌면 오르다 내려오니 극대, $-$ 에서 $+$ 로 바뀌면 극소다. 부호가 안 바뀌면 극값이 아니다.

극값은 「그 근처에서」 가장 크거나 작은 값이다. 산맥에 봉우리가 여럿 있듯 극대가 여러 개일 수 있고, 그중 하나가 전체에서 가장 높은 최댓값일 수도, 아닐 수도 있다.

극값 최댓값 · 최솟값

범위 그 점의 근처에서 주어진 구간 전체에서

개수 여러 개일 수 있다 하나씩

구간 끝 극값이 아니다 최대 · 최소가 될 수 있다

극(極)은 「끝, 다다른 데」다. 극대는 근처에서 다다른 가장 큰 값, 극소는 가장 작은 값이다.

극댓값이 극솟값보다 작을 수 있다. 높은 고원의 골짜기가 낮은 언덕의 봉우리보다 높은 것처럼, 「극대」라는 이름이 다른 자리의 극소보다 크다는 보장은 아니다.

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