미분
미분계수 · 도함수
어느 한 순간에 값이 얼마나 빨리 변하는지를 구하는 것. 그래프에서는 접선의 기울기다.
고2 에서 배웁니다.
은 에서 미분계수가 이다. 가 근처에서 아주 조금 늘면 는 그 약 배만큼 는다.
왜 그런가
자동차로 2시간에 100 km 를 갔다면 평균 속력은 시속 50 km 다. 그런데 계기판이 보여 주는 것은 평균이 아니라 바로 이 순간의 속력이다.
순간의 속력은 바로 구할 수 없다. 시간 간격이 0 이면 「거리 ÷ 시간」이 이 되기 때문이다. 그래서 간격을 1초, 0.1초, 0.001초로 줄이면서 평균 속력이 어느 값에 다가가는지 본다. 그 값이 미분계수다.
그래프로 보면 곡선 위 두 점을 이은 직선(할선)에서 두 점을 한없이 붙이면 그 점에서 곡선에 닿는 직선(접선)이 된다. 곡선을 크게 확대하면 직선처럼 보이는데, 그 직선의 기울기가 미분계수다. 모든 에서의 미분계수를 모으면 새 함수가 생기고, 그것을 도함수 라고 한다.
장면으로 보기 · 확대하면 곡선이 곧아진다
확대 × 80 왼쪽 기울기 -1.969 오른쪽 기울기 -1.870 차이 0.099
기울기는 확대 창의 끝과 P 를 이은 선으로 잰다(창의 가로 0.055). 비교: 공식으로 구한 순간 기울기 3x² − 3 = -1.920
곡선의 한 점을 계속 확대하면 곡선이 직선처럼 보인다. P 의 왼쪽과 오른쪽으로 그은 두 선의 기울기가 하나로 모이고, 그 값이 그 점의 순간 기울기(미분계수)다. 꺾인 점에서는 아무리 확대해도 두 기울기가 갈라진 채 남는다. 그래서 그 점에서는 미분할 수 없다고 한다.
미분과 적분
이름의 유래
미분(微分)은 「잘게 나눈다」는 뜻이다. 라이프니츠는 아주 작은 차이(difference)를 로 적었고, 그래서 영어로 differential 이 되었다. 는 그 작은 차이 둘의 비라는 모양을 그대로 담은 기호다.
흔한 오해
미분계수가 0 이라고 반드시 극대나 극소는 아니다. 은 에서 접선이 수평이지만 그 앞뒤로 계속 커지기만 한다. 앞뒤에서 부호가 바뀌는지를 봐야 한다.
이웃한 낱말
「미분」과 이어진 낱말입니다. 누르면 그 낱말로 넘어갑니다.