증가와 감소
증가함수 · 감소함수
가 커질 때 함숫값도 커지면 증가, 함숫값이 작아지면 감소라고 한다.
고2 에서 배웁니다.
는 라서 에서 감소하고 에서 증가한다.
왜 그런가
그래프를 왼쪽에서 오른쪽으로 걸어가며 읽는 말이다. 어떤 구간에서 이면 늘 일 때 그 구간에서 증가한다고 하고, 늘 이면 감소한다고 한다. 오르막이면 증가, 내리막이면 감소다.
두 점을 일일이 견주는 대신 도함수의 부호를 본다. 는 그 점에서 접선의 기울기다. 어떤 구간 어디서나 가 양수이면 접선이 늘 오른쪽 위를 향하고, 그래프도 그 구간에서 오른다.
증가하다가 감소로 바뀌는 자리가 극대, 감소하다가 증가로 바뀌는 자리가 극소다. 위의 예는 에서 감소가 증가로 바뀌니 극솟값 를 갖는다. 구간마다 의 부호와 오르내림을 한 줄로 늘어놓은 것이 증감표이고, 그래프를 그릴 때 뼈대가 된다.
장면으로 보기 · 기울기를 찍으면 새 그래프가 된다
곡선 x³ − 3x x = 0.92 잰 기울기 = -0.439
기울기는 (f(x + h) − f(x − h)) / 2h 로 잰다(h = 0.001). 비교: 미분한 식 3x² − 3 = -0.439
위 곡선의 한 점에서 접선의 기울기를 재어, 아래 칸 같은 자리에 높이로 찍는다. 점을 끝까지 옮기면 찍힌 점들이 새 곡선이 되는데, 이 새 곡선이 도함수다. 위 곡선이 꼭대기나 바닥에서 평평해지는 자리마다 아래 곡선은 0 을 지난다. sin x 를 찍으면 cos x 가 나오고, eˣ 를 찍으면 자기 자신이 나온다.
증가와 감소
흔한 오해
이면 증가하지만 거꾸로는 아니다. 은 에서 인데도 실수 전체에서 증가한다. 그래서 증가하는 구간에서 말할 수 있는 것은 까지다.
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