고1 수와 연산

복소수

실수 $a$ , $b$ 로 $a + bi$ 꼴로 나타내는 수.

초등중등고등

고1 에서 배웁니다.

$3 + 2 i$ 는 실수부분이 $3$ , 허수부분이 $2$ 인 복소수다. $5$ 는 $5 + 0 i$ 로 보면 복소수이고, $2 i$ 는 $0 + 2 i$ 다.

왜 그런가

실수와 허수를 더해 만든 수가 복소수다. 실수는 허수부분이 $0$ 인 복소수이므로, 복소수는 지금까지의 모든 수를 품는다.

복소수 $a + bi$ 는 가로가 실수, 세로가 허수인 평면 위의 점 $(a, b)$ 로 그릴 수 있다(복소평면). 이 평면에서 복소수를 곱하면 원점에서의 거리는 곱해지고 각은 더해진다. 곱셈이 늘이기와 돌리기가 된다.

복소수까지 넓히면 이차방정식은 언제나 근을 두 개 갖는다. 판별식이 음수이면 근은 서로 켤레인 두 복소수다. 더 나아가 $n$ 차방정식은 복소수 안에서 언제나 근을 $n$ 개 가진다(대수학의 기본 정리). 수를 더 넓힐 필요가 없어진 것이다.

장면으로 보기 · 사라진 근은 어디로 갔나

사라진 근은 어디로 갔나

y = x² − x + 1.25 D = −4.00 x₁ = 0.50 + 1.00i x₂ = 0.50 − 1.00i

c = 1.25

판별식이 음수가 되어도 근은 사라지지 않습니다. 실수축에서 만난 두 근이 허수 방향으로 갈라져 나갈 뿐이고, 보라색 그림자 포물선이 바닥과 만나는 바로 그 자리입니다.

실수 허수

a + bi

에서

b = 0

b \neq = 0

예

5, - \frac{1}{2}

2 i, 3 + i

복소수(複素數)는 「여러 바탕이 합쳐진 수」, 곧 실수와 허수 두 부분으로 된 수다. 영어 complex 도 「엮어 만든」이라는 뜻이다.

복소수끼리는 크기를 견줄 수 없다. $2 i > i$ 나 $3 + i < 4$ 같은 말은 뜻이 없다. 부등식은 실수에서만 쓴다.

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