고2 자료와 가능성

조건부확률

P(B|A)

사건 $A$ 가 일어났다는 것을 알 때 사건 $B$ 가 일어날 확률. $P (B ∣ A)$ 로 쓴다.

초등중등고등

고2 에서 배웁니다.

주사위를 던져 짝수가 나왔다는 것을 알 때 $6$ 일 확률은 $\frac{1}{3}$ 이다. 짝수 $2, 4, 6$ 가운데 하나이기 때문이다.

왜 그런가

조건이 생기면 따져야 할 세계가 줄어든다. 처음에는 주사위 눈 여섯 개가 모두 가능했지만, 「짝수」라는 말을 들은 순간 $1, 3, 5$ 는 지워진다. 남은 세 개 안에서 다시 확률을 잰다.

P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}

분모가 $P (A)$ 인 것이 바로 「세계를 $A$ 로 줄인다」는 뜻이다. 양변에 $P (A)$ 를 곱하면 $P (A \cap B) = P (A) P (B ∣ A)$ 가 되어, 두 일이 차례로 일어날 확률을 곱으로 구하는 곱셈정리가 된다.

새 정보를 얻을 때마다 확률을 고쳐 쓰는 일이 모두 조건부확률이다. 검사 결과를 보고 병일 확률을 다시 따지거나, 일기예보가 비 올 확률을 고치는 것이 그렇다.

장면으로 보기 · 조건이 표본공간을 자른다

조건이 표본공간을 자른다

남은 칸 |A| = 18 그중 합이 8 |A∩B| = 3 P(B|A) = 3 / 18 = 0.167

= (3/36) ÷ (18/36) = 0.167 같은 값이다

조건은 표본공간을 줄이는 일이다. 줄어든 공간 안에서 사건을 다시 세면 그것이 조건부확률이다.

P(B|A) P(A|B)

줄인 세계

A

안에서

B

안에서

예 비가 올 때 우산을 쓸 확률 우산을 쓴 사람 중 비를 만난 확률

값 대개 서로 다르다 대개 서로 다르다

$P (B ∣ A)$ 와 $P (A ∣ B)$ 를 같은 것으로 착각하기 쉽다. 정확도 $99%$ 인 검사에서 양성이 나와도, 병이 아주 드물면 실제로 병일 확률은 $99%$ 보다 훨씬 낮을 수 있다. 「병이면 양성」과 「양성이면 병」은 다른 조건부확률이다.

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