고1 변화와 관계

집합

원소 · 부분집합 · 합집합 · 교집합

어떤 것이 속하는지 아닌지를 분명히 가릴 수 있는 것들의 모임.

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고1 에서 배웁니다.

「10 이하의 짝수」는 ${2, 4, 6, 8, 10}$ 인 집합이다. 「키가 큰 학생」은 기준이 분명하지 않아 집합이 아니다.

왜 그런가

집합에 속한 하나하나를 원소라고 한다. 중요한 것은 기준이 분명해서 누구든 같은 답을 내야 한다는 점이다. 「크다, 예쁘다」처럼 사람마다 답이 다른 말로는 집합을 만들 수 없다.

두 집합으로 새 집합을 만든다. 어느 한쪽에라도 속하면 합집합, 둘 다에 속하면 교집합이다. 벤 다이어그램에 그리면 두 원의 전체와 겹친 부분이다.

겹친 부분 때문에 원소의 개수는 그냥 더하면 안 된다. $n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$ . 겹친 원소를 두 번 셌으니 한 번 뺀다. 경우의 수와 확률의 덧셈이 같은 원리다.

원소 부분집합

기호

2 \in A

{2} \subset A

뜻 집합 안의 하나 집합 안의 일부를 모은 집합

집합을 수학의 바탕으로 세운 것은 19세기 독일의 칸토어다. 그는 집합으로 「무한에도 크기의 차이가 있다」는 것까지 보였다.

원소가 하나도 없는 공집합 $\emptyset$ 은 모든 집합의 부분집합이다. 부분집합의 개수를 셀 때 공집합과 자기 자신을 빠뜨리기 쉽다. 원소가 $3$ 개인 집합의 부분집합은 $2^{3} = 8$ 개다.