순환소수
순환마디 · 무한소수
소수점 아래에서 같은 숫자의 배열이 끝없이 되풀이되는 소수.
중2 에서 배웁니다.
는 이 되풀이되고, 은 이 되풀이된다. 되풀이되는 부분 이 순환마디다.
왜 그런가
분수를 나눗셈으로 소수로 바꾸면, 나누어떨어지지 않을 때 나머지가 계속 나온다. 로 나누면 나머지는 부터 까지밖에 없으니, 언젠가 이미 나온 나머지가 다시 나오고 그때부터 같은 계산이 되풀이된다. 그래서 분수는 끝나거나 순환한다.
거꾸로 순환소수는 모두 분수로 고칠 수 있다. 이라 하면 이고, 빼면 꼬리가 통째로 지워져 , 곧 이다.
그래서 유리수는 「끝나거나 순환하는 소수」로 쓸 수 있는 수와 같다. 순환하지 않고 끝없이 이어지는 소수가 무리수다. 와 가 그렇다.
장면으로 보기 · 끝없이 더해도 하나
r = 1/2, a = 1 − r = 1/2 n = 12 Sₙ = 0.999755859375 남은 틈 rⁿ = 0.000244140625
공비가 r 일 때 첫째항을 a = 1 − r 로 두면 합 a/(1 − r) 가 꼭 1 이 됩니다. 그래서 조각을 아무리 더해도 넓이 1 인 정사각형 하나를 넘지 않고, 남은 틈 rⁿ 만 끝없이 작아집니다. 조각 둘마다 남은 칸이 처음 정사각형을 줄인 꼴이라 같은 무늬가 끝없이 되풀이됩니다.
순환소수와 순환하지 않는 무한소수
흔한 오해
는 보다 아주 조금 작은 수가 아니라 과 같은 수다. 라 하면 라서 이다. 의 양변에 을 곱해 봐도 같다.
이웃한 낱말
「순환소수」와 이어진 낱말입니다. 누르면 그 낱말로 넘어갑니다.
낱말에 마우스를 올리면 한 줄 뜻이 여기에 뜹니다. 낱말을 누르면 그 낱말로 넘어갑니다.