고2 변화와 관계

수열

등차수열 · 등비수열 · 일반항

수를 차례대로 늘어놓은 것. $n$ 번째 수를 나타낸 식을 일반항이라 한다.

초등중등고등

고2 에서 배웁니다.

$2, 5, 8, 11, \dots$ 은 $3$ 씩 커지는 수열이고 일반항은 $a_{n} = 3 n - 1$ 이다.

왜 그런가

수열은 첫째, 둘째, 셋째 … 자리마다 수를 하나씩 정한 것이다. 자리 번호 $n$ 을 넣으면 수 $a_{n}$ 이 나오므로, 정의역이 자연수인 함수로 볼 수 있다.

가장 기본은 두 가지다. 같은 수를 더해 가면 등차수열, 같은 수를 곱해 가면 등비수열이다. 그래프로 찍으면 등차수열은 직선 위에 놓이고, 등비수열은 곡선을 그리며 빠르게 커지거나 줄어든다.

$1$ 부터 $100$ 까지 더하는 것도 수열의 합이다. 같은 줄을 거꾸로 하나 더 써서 위아래로 짝지으면 $101$ 이 $100$ 쌍이라, 둘을 합친 값의 절반인 $5050$ 이 답이다. 어린 가우스가 이렇게 풀었다는 이야기가 전해진다.

장면으로 보기 · 계단을 뒤집어 붙이면

계단을 뒤집어 붙이면

계단 칸 수 = 27 직사각형 칸 수 = 2S = n × (첫항 + 끝항) = 54 그래서 S = 27

두 계단의 칸을 합쳐 세면 가로 6 칸 · 세로 9 칸, 겹친 칸 0 · 빈 칸 0. 공식과 비교하면 n × (첫항 + 끝항) ÷ 2 = 6 × (2 + 7) ÷ 2 = 27.

항의 수 n 6

같은 계단을 뒤집어 붙이면 모든 줄의 길이가 첫항 + 끝항으로 같아진다. 직사각형의 반이 등차수열의 합이다. 어린 가우스가 1 부터 100 까지를 순식간에 더했다는 일화의 방법이다.

등차수열 등비수열

다음 항으로 같은 수를 더한다(공차) 같은 수를 곱한다(공비)

예

2, 5, 8, 11

3, 6, 12, 24

일반항

a + (n - 1) d

a r^{n - 1}

수열(數列)은 「수를 늘어놓은 줄」이다. 영어 sequence 는 라틴어 sequi(뒤따르다)에서 왔다.

일반항에서 공차를 곱하는 횟수는 $n$ 이 아니라 $n - 1$ 이다. 첫째항에서 $n$ 번째 항까지는 $n - 1$ 걸음이다. 나무 다섯 그루 사이의 간격이 넷인 것과 같다.

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