소인수분해
소인수 · 인수
자연수를 소수들만의 곱으로 나타내는 것. 순서를 빼면 방법은 하나뿐이다.
중1 에서 배웁니다.
다. 에서 시작하든 에서 시작하든 끝까지 쪼개면 같은 결과가 나온다.
왜 그런가
소수는 더 쪼갤 수 없는 수의 원자다. 1 보다 큰 자연수는 모두 소수들의 곱으로 쪼개지고, 어떤 순서로 쪼개 가든 마지막에 남는 소수의 종류와 개수는 같다. 이것을 산술의 기본정리라고 한다.
소인수분해를 해 두면 수의 속이 보인다. 의 약수는 를 개, 과 를 개씩 골라 곱한 수들이라 개다. 최대공약수는 두 수에 공통으로 든 소인수를, 최소공배수는 둘 중 하나에라도 든 소인수를 모아 곱한다.
제곱수를 가르는 것도 쉽다. 모든 소인수의 지수가 짝수일 때만 제곱수다. 은 제곱수이고, 은 과 의 지수가 홀수라 제곱수가 아니다.
장면으로 보기 · 수를 소용돌이로 적으면 소수가 줄을 선다
1 ~ 1681 소수 263 개 민트 대각선 39 칸 중 소수 20 개 (51%) 대각선으로 잇단 소수 가장 긴 줄 6 개
소수는 코드가 체로 직접 가려낸다. 가로·세로로 붙은 두 칸은 한쪽이 늘 짝수라 소수끼리 가로·세로로 붙은 쌍은 2 개뿐이다(2 와 3, 2 와 11). 그래서 소수는 대각선으로만 이어진다. 흰 줄에 잇단 소수 907, 1031, 1163, 1303, 1451 … 에서 이웃한 차(124, 132, 140, 148 …)가 8 씩 는다(이차식으로 늘어선 수). 비교: 홀수 칸 전체는 841 칸 중 소수 262 개 (31%)
1 부터 차례로 소용돌이 모양으로 적고 소수만 칠하면, 소수가 비스듬한 줄에 모여 보인다. 가로·세로로 이웃한 두 수는 하나가 짝수라서 소수는 대각선으로만 이어질 수 있다. 그런데 어떤 대각선에는 다른 줄보다 소수가 훨씬 많다. 한 대각선 위의 수는 이웃한 차가 일정하게 느는 수(이차식)인데, 어떤 이차식이 왜 소수를 유난히 많이 내놓는지는 아직 다 증명되지 않았다. 41 부터 적으면 가운데 대각선이 오일러가 찾은 n² + n + 41 이 되어 소수 40 개가 한 줄로 선다. 1963 년 수학자 울람이 지루한 발표를 듣다 낙서하며 처음 보았다고 전한다.
소인수분해와 인수분해
이름의 유래
소인수(素因數)는 「소수인 인수」라는 뜻이다. 여기서 소(素)는 소수(素數)의 소, 곧 「바탕, 더 나눌 수 없는 것」이다.
흔한 오해
은 소수가 아니라서 소인수분해에 넣지 않는다. 을 소수로 치면 처럼 쪼개는 방법이 여러 가지가 되어, 방법이 하나뿐이라는 성질이 깨진다.
이웃한 낱말
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