지수

왜 그런가

같은 수를 여러 번 곱하는 것을 짧게 적으려고 지수를 쓴다. 그러면 곱셈이 지수의 덧셈이 된다. $2^3\times 2^4$ 는 $2$ 를 $3$ 번, 또 $4$ 번 곱한 것이니 $2^{3+4}=2^7$ 이다(지수법칙).

지수는 처음에 「곱한 횟수」라서 자연수뿐이었다. 그런데 지수법칙이 계속 성립하게 하려면 $2^0$ 은 $1$, $2^{-1}$ 은 $\frac{1}{2}$, $2^{\frac{1}{2}}$ 은 $\sqrt{2}$ 여야 한다. 그렇게 정하면서 지수가 $0$, 음수, 분수로 넓어졌다.

지수가 늘면 값은 무섭게 빨리 커진다. 두께 0.1 mm 인 종이를 반으로 42 번 접을 수 있다면 두께는 $0.1\times 2^{42}$ mm, 약 44만 km 가 되어 달까지의 거리(약 38만 km)를 넘는다.