최대공약수와 최소공배수
최대공약수 · 최소공배수 · 공약수 · 공배수
두 수의 공통인 약수 가운데 가장 큰 것과, 공통인 배수 가운데 가장 작은 것.
초5 에 처음 만나 중1 까지 이어집니다.
와 의 최대공약수는 , 최소공배수는 이다.
왜 그런가
최대공약수는 「둘 다 남김없이 가장 크게 나누기」다. 가로 , 세로 인 벽을 같은 크기의 정사각형 타일로 빈틈없이 채울 때 가장 큰 타일의 한 변이 이다. 분수를 끝까지 약분할 때도 쓴다.
최소공배수는 「둘이 처음 다시 만나는 때」다. 분마다 오는 버스와 분마다 오는 버스가 함께 떠났다면 분 뒤에 처음 다시 함께 온다. 분모를 통분할 때도 쓴다.
소인수분해로 보면 한눈에 갈린다. , 에서 겹치는 부분 이 최대공약수, 전부를 모은 이 최소공배수다. 그래서 두 수의 곱은 언제나 (최대공약수) × (최소공배수)와 같다. .
장면으로 보기 · 직사각형을 정사각형으로 채우면
G = 3 (마지막 정사각형의 변) a × b = 21 × 15 타일 35 개 L = 35 × 3 = 105
비교: a × b = 315, a × b ÷ G = 315 ÷ 3 = 105. 그래서 a × b = G × L = 3 × 105.
가장 큰 정사각형부터 채워 가면 마지막에 남는 작은 정사각형이 두 수를 다 나누는 가장 큰 수다. 그 정사각형으로 전체를 채운 개수에 변을 곱하면 최소공배수가 나온다.
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최대공약수와 최소공배수
이름의 유래
최대공약수를 나눗셈만 되풀이해 빠르게 구하는 방법(유클리드 호제법)은 기원전 300년 무렵 유클리드의 『원론』에 이미 실려 있다. 지금도 쓰이는 가장 오래된 계산 방법 가운데 하나다.
흔한 오해
문장제에서 어느 쪽을 구할지 헷갈린다. 「가장 큰 · 똑같이 나눈다」면 최대공약수, 「처음으로 · 다시 · 동시에」면 최소공배수다. 검산도 된다. 최소공배수는 두 수보다 작을 수 없고, 최대공약수는 두 수보다 클 수 없다.
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