고2 변화와 관계

점화식

귀납적 정의 · 수열의 귀납적 정의

첫째항과, 앞의 항으로 다음 항을 만드는 규칙으로 수열을 정하는 식.

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고2 에서 배웁니다.

$a_{1} = 2$ , $a_{n + 1} = a_{n} + 3$ 이면 수열은 $2, 5, 8, 11, \dots$ 이다.

왜 그런가

일반항은 번호를 대면 그 자리의 수를 바로 알려 주는 주소록이고, 점화식은 한 칸씩 걸어가는 길 안내다. 출발점과 「다음 칸으로 가는 법」만 있으면 아무리 먼 칸이라도 언젠가는 닿는다.

연락망과 같다. 첫 사람에게 소식을 전하고 「들은 사람은 다음 사람에게 전한다」는 규칙만 정하면 줄 끝까지 소식이 간다. 처음과 넘어가는 규칙, 이 두 줄짜리 뼈대는 수학적 귀납법과 같은 구조다. 그래서 점화식으로 정한 수열의 성질은 수학적 귀납법으로 증명하기에 잘 맞는다.

등차수열과 등비수열은 일반항과 점화식 어느 쪽으로도 쉽게 적힌다. 그런데 일반항은 복잡한데 점화식은 한 줄인 수열도 많다. 피보나치 수열이 그렇다.

a_{1} = a_{2} = 1, a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}

앞의 두 항을 더해 다음 항을 만들면 $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \dots$ 이 된다. 이 수열의 일반항에는 $5$ 가 들어간 긴 식이 필요하지만, 점화식은 한 줄로 끝난다. 해바라기 씨앗이 그리는 나선의 개수 $21$ , $34$ , $55$ 도 이 수열에 나오는 수다.

장면으로 보기 · 자연이 고른 각도

자연이 고른 각도

각도 137.51° 황금각과 차이 ±0.00° 씨앗 360개

각도

황금각은 어떤 분수와도 끝까지 맞지 않는 각이라 씨앗이 어느 한 방향으로도 줄서지 않고 빈틈없이 퍼집니다. 그래도 이 각을 한 바퀴의 몇 분의 몇으로 가장 잘 어림한 분수들이 8/21, 13/34, 21/55 처럼 피보나치 수로 되어 있어서, 번호가 피보나치 수만큼 떨어진 씨앗끼리 한 팔로 이어져 나선 21 · 34 · 55 개가 드러납니다.

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일반항과 점화식

일반항 점화식

주는 것

n

번째 항을 바로 앞 항과 다음 항의 관계

100

번째 항을 구하려면

n

에

100

을 넣는다 앞에서부터 차례로 간다

2, 5, 8, 11, \dots

에서

a_{n} = 3 n - 1

a_{1} = 2

a_{n + 1} = a_{n} + 3

이름의 유래

점화식(漸化式)은 「차츰(漸) 바뀌어(化) 가는 식」이라는 뜻이다. 영어로는 recurrence relation 이라 하는데, 같은 규칙이 되풀이(recur)된다는 말이다.

흔한 오해

규칙이 같아도 첫째항이 다르면 다른 수열이다. $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ 은 $a_{1} = 1$ 이면 $1, 2, 4, 8, \dots$ 이고, $a_{1} = 3$ 이면 $3, 6, 12, 24, \dots$ 이다. 피보나치 수열처럼 앞의 두 항을 쓰는 규칙이면 처음 두 항을 모두 주어야 한다.

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