고1 ~ 고3 변화와 관계

점근선

그래프가 한없이 멀리 갈수록 한없이 가까워지는 직선.

초등중등고등

고1 에 처음 만나 고3 까지 이어집니다.

$y = \frac{1}{x - 2} + 3$ 의 점근선은 두 직선 $x = 2$ 와 $y = 3$ 이다.

왜 그런가

$y = \frac{1}{x}$ 에서 $x$ 를 $10$ , $100$ , $1000$ 으로 키우면 $y$ 는 $0.1$ , $0.01$ , $0.001$ 로 $0$ 에 다가가지만 $0$ 이 되지는 않는다. 그래서 $x$ 축이 점근선이다. 거꾸로 $x$ 가 오른쪽에서 $0$ 에 다가가면 $y$ 가 한없이 커져 그래프가 $y$ 축을 따라 끝없이 올라간다. 그래서 $y$ 축도 점근선이다.

가로 점근선은 $x$ 가 한없이 커지거나 작아질 때 $y$ 가 다가가는 값이고, 세로 점근선은 분모가 $0$ 에 다가가 값이 끝없이 커지는 자리다. 둘 다 극한으로 적힌다.

x \to \infty lim \frac{1}{x} x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = 0 = \infty

그래프를 평행이동하면 점근선도 함께 옮겨 간다. $y = \frac{1}{x}$ 를 오른쪽으로 $2$ , 위로 $3$ 옮긴 것이 위의 예라서 점근선도 $x = 2$ , $y = 3$ 이 된다. 지수함수 $y = 2^{x}$ 는 $x$ 축, 로그함수 $y = lo g_{2} x$ 는 $y$ 축을 점근선으로 갖고, 표준형의 쌍곡선은 원점을 지나는 비스듬한 두 직선을 갖는다. 그래프를 그릴 때 점근선부터 긋고 곡선을 얹으면 모양이 흔들리지 않는다.

장면으로 보기 · 넓이가 같은 직사각형들

넓이가 같은 직사각형들

가로 x = 3.00 세로 y = 4.00 칸 수 = 12.0 (온 칸 12 · 부분 칸 0) x × y = 12

가로 x 3.0

곱이 일정한 두 양이 반비례입니다. 한쪽이 두 배가 되면 다른 쪽은 반이 되고, 넓이가 같은 직사각형의 꼭짓점을 이으면 매끄러운 곡선이 됩니다.

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세로 점근선과 가로 점근선

세로 점근선 가로 점근선

식의 꼴

x = p

y = q

생기는 까닭

x

가

p

에 다가가면

y

가 끝없이 커지거나 작아진다

x

가 끝없이 커지거나 작아지면

y

가

q

에 다가간다

y = \frac{1}{x - 2} + 3

에서

x = 2

y = 3

이름의 유래

점근(漸近)은 「점점 가까워진다」는 뜻이다. 영어 asymptote 는 그리스어로 「함께 떨어지지 않는」, 곧 만나지 않는다는 말에서 왔다.

흔한 오해

「그래프와 만나지 않는 직선」이 점근선의 뜻은 아니다. 뜻은 멀리 갈수록 한없이 가까워진다는 것이다. $y = \frac{k}{x - p} + q$ 의 그래프가 점근선과 만나지 않는 것은 이 함수의 사정이다. $y = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ 은 $x$ 축이 점근선인데도 원점에서 $x$ 축을 지난다. 거꾸로 만나지 않는다고 다 점근선도 아니다. $y = x^{2}$ 은 직선 $y = - 1$ 과 만나지 않지만 멀어지기만 한다.

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