고2 자료와 가능성

중복순열과 중복조합

중복순열 · 중복조합

같은 것을 여러 번 골라도 되는 뽑기. 순서를 따지면 중복순열, 따지지 않으면 중복조합이다.

초등중등고등

고2 에서 배웁니다.

과자 세 종류에서 중복을 허락해 $4$ 개를 고르는 방법은 $_{3} H_{4} =_{6} C_{4} = 15$ 가지다.

왜 그런가

중복순열은 자리마다 고를 수 있는 것이 그대로 $n$ 가지다. 앞에서 무엇을 골랐든 다음 자리도 $n$ 가지라서, 경우의 수는 $n$ 을 $r$ 번 곱한 것이다. 보기가 넷인 객관식 다섯 문제에 답을 적는 방법이 $4^{5} = 1024$ 가지인 까닭이다.

_{n} Π_{r} = n^{r},_{n} H_{r} =_{n + r - 1} C_{r}

중복조합은 칸막이로 센다. 과자 $4$ 개를 ○ 넷으로, 종류를 가르는 경계를 칸막이 둘로 두면 「○○|○|○」 같은 한 줄이 한 가지 고르기다(첫째 종류 둘, 둘째 하나, 셋째 하나). 여섯 자리 가운데 ○ 가 놓일 네 자리만 고르면 줄이 정해지므로 $_{6} C_{4}$ 가지다. 칸막이는 종류 수보다 하나 적은 $n - 1$ 개라서 자리는 모두 $n + r - 1$ 개가 된다.

같은 셈이 여러 얼굴로 나온다. $x + y + z = 4$ 를 만족하는 음이 아닌 정수 $x$ , $y$ , $z$ 를 고르는 방법의 수도 ○ 넷을 세 칸에 나눠 담는 문제라 똑같이 $15$ 다. $(a + b + c)^{4}$ 을 전개했을 때 나오는 서로 다른 항의 개수도 $15$ 다.