고1 ~ 고2 자료와 가능성

순열과 조합

순열 · 조합

여럿에서 몇 개를 뽑을 때, 순서를 따져 늘어놓으면 순열이고 순서 없이 뽑기만 하면 조합이다.

초등중등고등

고1 에 처음 만나 고2 까지 이어집니다.

$6$ 명이 달리기를 해 금메달과 은메달을 받을 사람이 정해지는 경우는 $6 \times 5 = 30$ 가지이고, 결승에 나갈 $2$ 명을 뽑는 경우는 $30 \div 2 = 15$ 가지다.

왜 그런가

순열은 자리를 하나씩 채우는 곱이다. 금메달 자리에는 $6$ 명 가운데 누구든 올 수 있고, 은메달 자리에는 금메달을 받은 한 명이 빠진 $5$ 명이 올 수 있다. 자리를 채울 때마다 고를 사람이 하나씩 줄어드니, $n$ 개에서 $r$ 개를 늘어놓는 수는 $n$ 부터 하나씩 작아지는 수 $r$ 개의 곱이다.

조합은 그 순열에서 순서를 지운 것이다. 결승에 나갈 두 사람 A, B 는 메달로 따지면 (A 금, B 은)과 (B 금, A 은) 두 경우지만 결승 명단으로는 하나다. 뽑힌 $r$ 명을 줄 세우는 $r!$ 가지가 조합에서는 한 가지로 포개지므로 순열의 수를 $r!$ 로 나눈다.

_{n} C_{r} = \frac{_{n} P _{r}}{r !}

결승에 나갈 $2$ 명을 고르는 일은 못 나갈 $4$ 명을 고르는 일과 같다. 한쪽이 정해지면 다른 쪽이 저절로 정해지니 $_{6} C_{2}$ 와 $_{6} C_{4}$ 는 둘 다 $15$ 다. 조합의 수는 $(a + b)^{n}$ 을 펼쳤을 때의 계수로 다시 나타난다.

장면으로 보기 · 순서를 지우면 r! 개가 하나로

순서를 지우면 r! 개가 하나로

줄 세운 카드 = 60 장 (5P3) 더미 = 10 개 (5C3) 더미마다 6 장씩, 전부 같다

카드는 안 쓴 사람을 하나씩 붙여 만들고, 더미는 글자를 정렬해 모은다. 60 = 10 × 6. 비교: 세 명을 줄 세우는 가짓수 3 × 2 × 1 = 6

뽑는 수 r 3

다섯 명 중 셋을 뽑아 줄 세우면 60 가지다. 여기서 순서를 지우면 같은 세 명이 된 카드가 한 더미로 모이는데, 어느 더미든 세 명을 줄 세우는 가짓수만큼인 여섯 장씩이다. 그래서 조합은 순열을 r! 로 나눈 값이다.

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