정의와 정리

왜 그런가

정의는 증명하지 않는다. 참인지 거짓인지를 따질 문장이 아니라 「이 낱말을 이런 뜻으로 쓰자」는 약속이기 때문이다. 대신 정의가 있어야 모두가 같은 낱말을 같은 뜻으로 쓴다. 「이등변삼각형」을 사람마다 다르게 알고 있으면 그에 대한 어떤 주장도 맞춰 볼 수 없다.

정리는 반드시 증명해야 한다. 앞서 받아들인 것만 써서 한 걸음씩 이어 가 참임을 밝힌 문장이다. 한 번 증명된 정리는 다음 증명의 재료가 된다. 수학은 이렇게 아래에서 위로 쌓인다. 공식 가운데 많은 것이 식으로 적은 정리다.

쌓아 올린 맨 밑에는 증명 없이 받아들이는 출발점이 있다. 이것을 공리라 한다. 「서로 다른 두 점을 지나는 직선은 하나뿐이다」 같은 문장이다. 증명의 근거로 쓸 수 있는 것은 정의, 공리, 이미 증명된 정리 셋이다. 셋을 가려 두면 무엇을 근거로 써도 되는지가 분명해진다. 문제가 막히면 낱말의 정의로 돌아가 보는 것이 길이 될 때가 많다.