연쇄법칙
합성함수의 미분법 · 합성함수의 미분
합성함수를 미분하면 겉함수의 미분에 속함수의 미분을 곱한 것이 된다는 규칙.
고3 에서 배웁니다.
을 미분하면 이다.
왜 그런가
맞물린 톱니바퀴 셋을 떠올린다. 첫째 바퀴가 한 칸 돌 때 둘째 바퀴가 두 칸, 둘째가 한 칸 돌 때 셋째가 세 칸 돈다면, 첫째가 한 칸 돌 때 셋째는 칸 돈다. 빠르기의 배율은 단계를 지날 때마다 더해지지 않고 곱해진다.
위의 예에서 속함수는 , 겉함수는 이다. 가 조금 변하면 는 그 배만큼, 가 조금 변하면 는 그 배만큼 변하므로 둘을 곱한다. 이 표기는 가 분수처럼 약분되는 모양이라 외우기 쉽다. 정말 분수라서가 아니라, 모양이 맞도록 만든 기호다.
이 규칙을 거꾸로 돌린 것이 치환적분이다. 미분할 때 곱해져 나온 속함수의 미분을, 적분할 때는 식 안에서 찾아내 겉과 속을 다시 가른다.
장면으로 보기 · 톱니바퀴 셋, 빠르기는 곱해진다
u 바퀴 ÷ x 바퀴 2.00 y 바퀴 ÷ u 바퀴 3.00 y 바퀴 ÷ x 바퀴를 곧장 재면 6.00 두 톱니비의 곱 2.00 × 3.00 = 6.00
톱니비는 x 를 0.0001 만큼 앞뒤로 움직였을 때 바퀴의 각이 바뀐 양을 나눠 잰다. 색 부채꼴은 x 바퀴가 톱니 한 칸 도는 동안 각 바퀴가 도는 각이다. 비교: 미분법으로 f′(g(x)) · g′(x) = 3u² × 2x = 6.00
u = x² 이고 y = u³ 이면 y 는 x 의 합성함수다. x 를 조금 돌리면 u 가 x 의 몇 배만큼 돌고, u 가 돈 만큼 y 가 u 의 몇 배만큼 돈다. 그래서 y 가 x 의 몇 배로 도는지는 두 배율을 곱한 것이다. x = 1 에서 2 배와 3 배라 6 배다. 배율은 자리마다 바뀌지만 곱이 전체의 배율이라는 것은 어디서나 같다. 이것을 적은 것이 {f(g(x))}′ = f′(g(x)) g′(x) 다.
곱의 미분법과 합성함수의 미분법
이름의 유래
연쇄(連鎖)는 「사슬처럼 이어진다」는 뜻이다. 영어 이름 chain rule 을 옮긴 말이다.
흔한 오해
겉과 속을 거꾸로 읽기 쉽다. 는 이라 겉이 제곱이고, 미분하면 다. 은 이라 겉이 사인이고, 미분하면 이다. 마지막에 하는 계산이 겉이다.
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