고3 변화와 관계

치환적분과 부분적분

치환적분 · 부분적분 · 치환적분법 · 부분적분법

미분의 두 규칙인 합성함수의 미분과 곱의 미분법을 거꾸로 돌려 얻은 두 가지 적분 방법.

초등중등고등

고3 에서 배웁니다.

$\int 2 x cos (x^{2}) d x$ 에서 $t = x^{2}$ 으로 두면 $d t = 2 x d x$ 라서 $\int cos t d t = sin t + C = sin (x^{2}) + C$ 다.

왜 그런가

미분은 규칙만 따라가면 끝까지 계산된다. 적분은 「미분해서 이것이 되는 함수」를 찾는 거꾸로 가는 일이라 그런 절차가 따로 없다. 그래서 이미 아는 미분 규칙을 뒤에서부터 읽는다. 미분 규칙 하나를 뒤집을 때마다 적분 방법이 하나 생기고, 그렇게 얻은 것이 이 둘이다.

치환적분은 합성함수의 미분(연쇄법칙)을 뒤집은 것이다. $F^{'} = f$ 일 때 $F (g (x))$ 를 미분하면 $f (g (x)) g^{'} (x)$ 가 된다. 그러니 적분할 식 안에 어떤 식 $g (x)$ 와 그 도함수 $g^{'} (x)$ 가 함께 보이면, 속의 식을 $t$ 한 글자로 바꾼다. 복잡해 보이던 식이 $\int f (t) d t$ 꼴로 줄어든다.

부분적분은 곱의 미분법 $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ 의 양변을 적분해 얻는다. 구하려는 항을 왼쪽에 남기면 이렇게 된다.

\int f g^{'} d x = f g - \int f^{'} g d x

그림으로는 $f$ 를 한 축에, $g$ 를 다른 축에 놓고 그린 곡선이 직사각형의 넓이 $f g$ 를 두 조각으로 가른 것이다. 한 조각이 구하려는 적분이고 다른 조각이 오른쪽의 적분이라, 한쪽을 알면 다른 쪽이 나온다. $\int x e^{x} d x$ 는 $x$ 를 미분하면 $1$ 로 단순해지는 것을 써서 $x e^{x} - e^{x} + C$ 가 된다.

장면으로 보기 · 직사각형을 곡선이 가른다

직사각형을 곡선이 가른다

노랑 ∫u dv 6.20 파랑 ∫v du 4.80 노랑 + 파랑 11.00 큰 직사각형 − 작은 직사각형 4 × 3 − 1 × 1 = 11.00

두 넓이는 곡선(1000 조각 꺾은선)과 축이 둘러싼 도형을 꼭짓점 좌표로 잰다. u = u(x), v = v(x) 라 dv = v'dx, du = u'dx 다. 비교: ∫u v' dx 를 x 로 잘게 나눠 더하면 6.20, uv − ∫u'v dx = 11.00 − 4.80 = 6.20

점 (u, v) 가 곡선을 따라 움직이면, 곡선이 큰 직사각형에서 모서리의 작은 직사각형을 뺀 땅을 둘로 가른다. 왼쪽 조각은 길이 u, 두께 dv 인 가로 띠를 쌓은 ∫u dv 이고, 아래 조각은 높이 v, 폭 du 인 세로 띠를 쌓은 ∫v du 다. 곡선이 어떻게 휘든 둘을 합치면 uv 의 끝값에서 처음값을 뺀 것이 되고, 이것을 옮겨 적은 것이 ∫uv' dx = uv − ∫u'v dx 다.

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