증명

왜 그런가

맞는 예가 아무리 이어져도 다음 하나에서 무너질 수 있다. 그럴듯한 규칙일수록 그렇다. $n^2+n+41$ 에 $n=0,1,2,\cdots ,39$ 를 넣으면 나오는 마흔 개의 수가 모두 소수다. 그런데 $n=40$ 을 넣으면 $1681=41\times 41$ 이 되어 소수가 아니다.

문자를 쓰면 한 번에 모든 경우를 덮는다. 홀수를 $2a+1$ 로 쓰는 순간 $3$ 이든 $99$ 든 모든 홀수를 한꺼번에 다룬 것이 된다. 증명은 가정에서 결론까지 「그러므로」로 이은 사슬이고, 고리 하나하나에 근거가 있어야 한다. 근거로 쓸 수 있는 것은 정의, 증명 없이 받아들인 출발점(공리), 이미 증명된 정리다.

곧바로 이어지지 않으면 거꾸로 간다. 결론이 틀렸다고 해 놓고 따라가다 모순이 나오면, 처음의 「틀렸다」가 틀렸으니 결론이 참이다. 이것이 귀류법이다. $\sqrt{2}$ 가 분수로 나타나지 않는다는 증명이 이렇게 한다.