고2 수와 연산

로그

log

밑을 몇 번 곱해야 그 수가 되는지, 곧 지수를 거꾸로 묻는 수.

초등중등고등

고2 에서 배웁니다.

$2^{5} = 32$ 이므로 $lo g_{2} 32 = 5$ 다. $1 0^{3} = 1000$ 이므로 $lo g_{10} 1000 = 3$ 이다.

왜 그런가

지수는 「 $2$ 를 $5$ 번 곱하면?」을 묻고, 로그는 「 $2$ 를 몇 번 곱하면 $32$ ?」를 묻는다. 같은 관계를 반대쪽에서 본 것이다. 덧셈과 뺄셈, 곱셈과 나눗셈처럼 지수와 로그는 서로를 되돌리는 짝이다.

지수법칙에서 곱셈이 지수의 덧셈이었으므로, 로그를 쓰면 곱셈이 덧셈이 된다. $lo g (x y) = lo g x + lo g y$ . 17세기 천문학자들은 큰 수를 곱하는 대신 로그표에서 찾아 더했고, 계산 시간이 크게 줄었다. 계산자(slide rule)가 이 원리로 움직인다.

로그는 아주 큰 범위를 한 줄에 담는다. $lo g_{10}$ 값은 대략 자릿수를 말해 준다. 지진의 규모, 소리의 데시벨, 산성도의 pH 가 모두 로그 눈금이라 1 이 오를 때마다 실제 크기는 몇 배씩 뛴다.

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자를 밀면 곱셈이 덧셈이 된다

a = 2.0 b = 3 자에서 읽은 값 = 6.00 비교: a × b = 6.00

막대 두 개 log a + log b = 0.301 + 0.477 = 0.778, 읽은 값의 눈금 자리 log 6.00 = 0.778. 두 길이가 같다.

a 2.0

로그 눈금에서는 곱셈이 길이의 덧셈이다. log ab = log a + log b 가 자 위에서 눈으로 보이고, 계산자는 이 한 줄로 반세기를 버텼다.

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지수와 로그

지수 로그

같은 사실

2^{5} = 32

lo g_{2} 32 = 5

묻는 것

2

를

5

번 곱하면?

2

를 몇 번 곱하면

32

이름의 유래

로그는 1614년 스코틀랜드의 존 네이피어가 발표했다. logarithm 은 그리스어 logos(비)와 arithmos(수)를 합쳐 그가 지은 말이다.

흔한 오해

로그는 덧셈을 갈라 주지 않는다. $lo g (x + y)$ 는 $lo g x + lo g y$ 가 아니다. 곱이 합으로 바뀌는 것이지 합이 합으로 바뀌는 것이 아니다. 또 진수는 양수, 밑은 $1$ 이 아닌 양수여야 한다.

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