고2 변화와 관계

지수함수와 로그함수

지수함수 · 로그함수 · 지수적 증가

$y = a^{x}$ 이 지수함수, 그 역함수 $y = lo g_{a} x$ 가 로그함수다.

초등중등고등

고2 에서 배웁니다.

종이를 한 번 접을 때마다 두께가 두 배가 되면 $x$ 번 접은 두께는 $2^{x}$ 배다. 거꾸로 $1024$ 배가 되려면 $lo g_{2} 1024 = 10$ 번 접어야 한다.

왜 그런가

지수함수는 일정한 비율로 불어나는 양이다. 일차함수가 같은 간격마다 같은 양을 더한다면, 지수함수는 같은 간격마다 같은 배수를 곱한다. 처음에는 느리지만 곧 어떤 다항함수보다도 빨리 커진다. 복리 이자, 세균의 번식이 그렇다.

로그함수는 그 반대를 묻는다. 몇 번 곱해야 그만큼 커지는가. 그래서 엄청나게 큰 수도 로그를 취하면 다룰 만한 크기로 줄어든다. 지진의 규모, 소리의 데시벨, 산성도 pH 가 로그로 잰 눈금이다.

두 함수는 서로 역함수라 그래프가 직선 $y = x$ 에 대해 대칭이다. 지수함수는 $(0, 1)$ 을, 로그함수는 $(1, 0)$ 을 지난다.

장면으로 보기 · 종이를 접을 때마다 두 배

종이를 접을 때마다 두 배

접은 횟수 n = 42 두께 = 439,804.65 km 층 수 = 4,398,046,511,104

28 번 접고 14 번 더 접으면 268,435,456 × 16,384 = 4,398,046,511,104 층 = 42 번 접은 것(4,398,046,511,104 층)과 같다. 2^28 × 2^14 = 2^42

접는 횟수 n 42

곱하기 2 를 거듭하면 처음엔 느리다가 곧 상상을 넘는다. 지수법칙은 그 거듭을 세는 규칙이고, 접은 횟수를 더하는 것이 두께를 곱하는 것이다. 실제 종이는 7~8 번쯤에서 더 접히지 않으니, 이 장면은 계속 접을 수 있다고 치고 센 것이다.

지수함수 y = 2ˣ 거듭제곱 함수 y = x²

변하는 자리 지수 밑

x = 10

1024

100

x

가 커질수록 결국 훨씬 빨리 커진다 느리게 커진다

로그함수의 정의역은 양수뿐이다. $lo g_{2} x$ 에 $0$ 이나 음수를 넣을 수 없다. $2$ 를 몇 번 곱해도 $0$ 이나 음수가 되지 않기 때문이다. 로그방정식을 풀고 나면 진수가 양수인지 꼭 확인한다.

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