중3 수와 연산

무리수

분수로 나타낼 수 없는 실수. 소수로 쓰면 되풀이 없이 끝없이 이어진다.

초등중등고등

중3 에서 배웁니다.

$2 = 1.41421356 \dots$ , $π = 3.14159265 \dots$ 는 무리수다.

왜 그런가

한 변이 $1$ 인 정사각형의 대각선 길이는 $2$ 다(피타고라스 정리). 분명히 그릴 수 있는 길이인데, 이 길이는 어떤 분수로도 정확히 나타낼 수 없다.

$2 = \frac{a}{b}$ 라고 기약분수로 놓아 보자. 양변을 제곱하면 $a^{2} = 2 b^{2}$ 이라 $a$ 는 짝수다. $a = 2 k$ 를 넣으면 $b^{2} = 2 k^{2}$ 이 되어 $b$ 도 짝수다. 둘 다 짝수면 기약분수라는 처음 가정과 어긋난다. 그러니 $2$ 는 분수가 아니다.

유리수와 무리수를 합친 것이 실수이고, 실수로 수직선이 빈틈없이 채워진다. 무리수는 드문 예외가 아니라 오히려 수직선의 대부분을 차지한다.

무리수와 유리수

무리수 유리수

분수로 나타낼 수 없다 나타낼 수 있다

소수로 쓰면 되풀이 없이 끝없이 이어진다 끝나거나 되풀이된다

이름의 유래

무리수(無理數)는 유리수의 반대말로 지어졌다. 영어 irrational 은 「비(ratio)로 나타낼 수 없는」이다. 고대 그리스 피타고라스 학파가 √2 같은 길이를 처음 알아차리고 크게 당황했다는 이야기가 전해진다.

흔한 오해

근호가 붙었다고 다 무리수는 아니다. $4 = 2$ , $\frac{9}{16} = \frac{3}{4}$ 은 유리수다. 또 $0.333 \dots$ 처럼 끝없는 소수라도 되풀이되면 유리수다.

왜 그런가

무리수와 유리수

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