방향벡터와 법선벡터

왜 그런가

직선을 하나로 정하려면 지나는 점 하나와 방향 하나면 된다. 그런데 방향을 말하는 길이 둘이다. 직선을 「따라가는」 방향을 주는 것이 방향벡터이고, 직선을 「가로막는」 방향을 주는 것이 법선벡터다.

방향벡터 $\vec{u}$ 로 말하면 직선은 점 $\mathrm{A}$ 에서 $\vec{u}$ 의 $t$ 배만큼 간 점들의 모임이다. $t$ 를 바꾸면 점이 직선 위를 미끄러진다. 기울기가 $m$ 인 직선이라면 가로로 $1$ 갈 때 세로로 $m$ 가므로 $(1,m)$ 이 방향벡터다.

법선벡터 $\vec{n}$ 으로 말하면 직선은 $\mathrm{A}$ 에서 그은 벡터 $\vec{p}-\vec{a}$ 가 늘 $\vec{n}$ 과 수직인 점들의 모임이다. 수직이면 내적이 $0$ 이므로 $\vec{n}\cdot (\vec{p}-\vec{a})=0$ 이다. 이것을 성분으로 풀어 쓰면 $x$, $y$ 의 일차방정식이 나오고, 그래서 일차방정식에서 $x$ 와 $y$ 의 계수를 나란히 읽은 것이 곧 법선벡터다. 두 직선이 이루는 각은 방향벡터끼리, 또는 법선벡터끼리의 내적으로 구한다.