고1 수와 연산

허수

허수단위

제곱하면 음수가 되는 수. 허수단위 $i$ 는 $i^{2} = - 1$ 인 수다.

초등중등고등

고1 에서 배웁니다.

$- 4 = 2 i$ 이고 $(3 i)^{2} = 9 i^{2} = - 9$ 다.

왜 그런가

$x^{2} + 1 = 0$ 은 실수 안에서 해가 없다. 그렇다면 제곱해서 $- 1$ 이 되는 새 수를 하나 정하고 그것을 $i$ 라고 부르자. 이것이 허수단위다. 여기에 실수를 곱한 $2 i$ , $- 5 i$ 같은 수가 허수다.

허수는 수직선 위에 없다. 대신 수직선에 수직인 새 방향에 있다고 보면 뜻이 생긴다. $1$ 에 $i$ 를 곱하면 $i$ , 또 곱하면 $- 1$ , 또 곱하면 $- i$ , 또 곱하면 다시 $1$ 이다. $i$ 를 곱할 때마다 90° 씩 돈다.

그래서 허수는 「상상의 수」라는 이름과 달리 회전과 파동을 다루는 데 쓰인다. 교류 전기 회로와 양자역학의 식에 허수가 그대로 들어간다.

장면으로 보기 · 곱할 때마다 90°

곱할 때마다 90°

i⁴ = 1 (복소수 곱셈 4 번) 방향 = 4 × 90° = 360° 가리키는 각(실측) 0°

지수 n 4

i 는 90° 회전이다. 곱셈이 회전이라는 것을 알면 i 의 거듭제곱은 외울 것이 아니라 네 걸음마다 돌아오는 자리일 뿐이다. 그래서 i 의 n 제곱은 n 을 4 로 나눈 나머지(n mod 4)만 보면 된다.

허수 실수

제곱하면 음수 0 이상

자리 수직선에 수직인 방향 수직선 위

허수(虛數)는 「비어 있는 수」다. 17세기 데카르트가 이런 수를 imaginaire(상상의)라고 부른 것이 굳어졌다. 처음에는 깎아내리는 이름이었다.

음수의 제곱근끼리는 근호를 함부로 합치지 못한다. $- 2 \times - 3$ 은 $6$ 이 아니라 $2 i \times 3 i = - 6$ 이다. 먼저 $i$ 로 꺼낸 뒤에 계산한다.

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