적분
정적분 · 부정적분
조금씩 쌓인 양을 모두 더한 것. 그래프에서는 곡선 아래의 넓이다.
고2 에서 배웁니다.
속력 그래프 아래의 넓이가 그동안 달린 거리다. 시속 60 km 로 2시간을 달리면 그래프 아래 직사각형의 넓이 이 달린 거리 120 km 다.
왜 그런가
속력이 일정하면 「속력 × 시간」 한 번으로 거리가 나온다. 속력이 계속 바뀌면 그렇게 할 수 없다.
그래서 시간을 아주 잘게 쪼갠다. 짧은 순간에는 속력이 거의 일정하니 「그 순간의 속력 × 짧은 시간」을 구할 수 있고, 이것을 전부 더한다. 그래프로는 곡선 아래를 가는 막대로 채우는 것과 같다. 쪼갤수록 정확해지고, 한없이 쪼갰을 때 다가가는 값이 정적분이다.
놀라운 것은 이 넓이를 막대를 더하지 않고도 구할 수 있다는 점이다. 미분하면 가 되는 함수 를 찾으면 넓이는 다. 거리를 미분하면 속력이 되고, 속력을 적분하면 거리로 돌아온다. 이것이 미적분의 기본 정리이고, 미분과 적분이 서로 거꾸로 가는 계산이라는 뜻이다.
장면으로 보기 · 막대가 넓이로 녹는다
(1/n) Σ f(k/n) = 0.365234 ∫₀¹ f(x) dx = 1/3 = 0.333333 차이 +0.031901
막대를 반으로 쪼갤 때마다 곡선을 넘친 조각과 모자란 조각이 함께 줄어듭니다. n 이 커지면 둘 다 사라지고 막대 넓이의 합이 곡선 아래 넓이, 곧 정적분에 붙습니다. 이것이 lim (1/n) Σ f(k/n) = ∫₀¹ f(x) dx 입니다.
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정적분과 부정적분
이름의 유래
적분 기호 은 라이프니츠가 「합」을 뜻하는 라틴어 summa 의 머리글자 S 를 길게 늘여 만들었다. 적분(積分)도 「나눈 것을 쌓는다」로 읽을 수 있다.
흔한 오해
정적분이 언제나 넓이는 아니다. 곡선이 축 아래로 내려간 부분은 음수로 더해진다. 넓이를 구할 때는 아래로 내려간 구간을 따로 떼어 부호를 바꿔 더한다.
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