미분가능
미분가능성
그 점에서 미분계수가 하나로 정해지는 것. 그래프가 끊기지도 꺾이지도 않고 매끄럽게 지난다.
고2 에서 배웁니다.
는 에서 이어져 있지만 미분가능하지 않다. 왼쪽에서 다가간 기울기는 , 오른쪽에서 다가간 기울기는 이다.
왜 그런가
미분계수는 극한이다. 극한은 왼쪽에서 다가간 값과 오른쪽에서 다가간 값이 같아야 있으므로, 미분계수도 두 쪽에서 잰 기울기가 같아야 있다. 의 에서 간격 로 잰 기울기는 의 부호에 따라 둘로 갈린다.
눈으로 가르는 방법도 있다. 매끄러운 곡선은 한 점을 크게 확대할수록 직선처럼 펴진다. 꺾인 점은 아무리 확대해도 꺾인 그대로다. 확대하면 직선으로 펴지고 그 직선이 세로로 서 있지 않은 점, 곧 기울기가 수 하나로 정해지는 접선을 그을 수 있는 점이 미분가능한 점이다.
미분가능하면 반드시 연속이지만 거꾸로는 아니다. 두 식을 이어 붙인 함수는 이음매에서 두 가지가 맞아야 미분가능하다. 값이 맞아야 끊기지 않고, 기울기까지 맞아야 꺾이지 않는다. 에서 , 에서 인 함수는 에서 두 식의 값이 모두 , 기울기가 모두 라서 매끄럽게 이어진다.
장면으로 보기 · 확대하면 곡선이 곧아진다
확대 × 80 왼쪽 기울기 -1.969 오른쪽 기울기 -1.870 차이 0.099
기울기는 확대 창의 끝과 P 를 이은 선으로 잰다(창의 가로 0.055). 비교: 공식으로 구한 순간 기울기 3x² − 3 = -1.920
곡선의 한 점을 계속 확대하면 곡선이 직선처럼 보인다. P 의 왼쪽과 오른쪽으로 그은 두 선의 기울기가 하나로 모이고, 그 값이 그 점의 순간 기울기(미분계수)다. 꺾인 점에서는 아무리 확대해도 두 기울기가 갈라진 채 남는다. 그래서 그 점에서는 미분할 수 없다고 한다.
연속과 미분가능
흔한 오해
꺾인 점만 미분가능하지 않은 것이 아니다. 는 에서 끊기지도 꺾이지도 않지만, 그 자리의 접선이 축처럼 똑바로 선다. 기울기가 한없이 커져 수로 정해지지 않으니 미분가능하지 않다.
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