직선의 방정식

왜 그런가

직선을 하나로 정하는 정보는 여러 가지다. 점 하나와 기울기, 서로 다른 두 점, $x$ 절편과 $y$ 절편. 주어진 것에 따라 식의 꼴이 달라 보이지만, 모두 「직선 위의 어느 두 점을 잡아도 기울기가 같다」는 한 문장을 식으로 옮긴 것이다.

점 $(x_1,y_1)$ 을 지나고 기울기가 $m$ 인 직선 위의 점 $(x,y)$ 는, 그 점과 이은 선분의 기울기가 $m$ 이어야 한다. 이 말을 그대로 적은 것이 아래 식이다.

세로로 선 직선 $x=3$ 은 기울기가 없어 $y=mx+n$ 꼴로 쓸 수 없다. $ax+by+c=0$ 꼴은 $b=0$ 일 때 그것까지 담는다. 도형을 식으로 옮기면 두 직선의 교점은 연립방정식의 해가 되고, 세로로 선 직선이 아니라면, 두 직선이 평행하다는 것은 기울기가 같고 $y$ 절편이 다르다는 말이 된다.